トップ > 物理数学 > 定数係数の2階同次微分方程式

 定数係数の2階同次微分方程式


 微分方程式 \begin{equation} y’’ + 2a y’ + by = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.9.1) \end{equation} を考える。この微分方程式の解を\( y= e^{\lambda x} \)と置く。 この\( y \)を式(2.9.1)に代入すると、 \begin{equation} \lambda^2 + 2a \lambda + b = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.9.2) \end{equation} の方程式を得られる。この方程式を特性方程式と呼ぶ。 この方程式は二次方程式であるので、簡単に解けて、 \begin{eqnarray} \lambda_1 &=& -1 + \sqrt{a^2 - b}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.9.2) \\ \lambda_2 &=& -1 - \sqrt{a^2 - b}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.9.3) \end{eqnarray} であることがわかる。重解、つまり\( \lambda_1 = \lambda_2 \)でない時、\( y_1 = e^{\lambda_1 x} \)と\( y_12 = e^{\lambda_2 x} \)は 一次独立な解である。これは、定数\( C_1,\ C_2 \)を使って、 \begin{equation} C_1 y_1 + C_2 y_2 = C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x} = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.9.4) \end{equation} となるのは、\( C_1 = C_2 = 0 \)が0の時のみであるからである。またはロンスキー行列が0でないことを証明してもよい。
 (2.9.1)の\( a \)と\( b \)は実数であるので、これらの値が何を取るかで\( \lambda \)の解に関して3つの場合が考えられる。ここでは、(i)\( \lambda \)が異なる解を持つ時、(ii)\( \lambda \)が複素共役な解を持つ時、(iii)\( \lambda \)が重解を持つ場合を考える。

(i)\( \lambda \)が異なる解を持つ時
 この場合、\( \lambda_1 \)と\( \lambda_2 \)によって表される解、 \( y_1 = e^{\lambda_1 x} \)、\( y_2 = e^{\lambda_2 x} \)はそれぞれ一次独立であるので、 重ね合わせによって一般解を表す事ができる。 \begin{eqnarray} y = C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.9.5) \end{eqnarray} ここで、\( C_1 \)、\( C_2 \)は定数である。

(ii)\( \lambda \)が複素解を持つ時
 この場合、\( k \)、\( l \)を実数として、\( \lambda \)の解は \begin{eqnarray} \lambda_1 &=& k + il \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.9.6)\\ \lambda_2 &=& k - il \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.9.7) \end{eqnarray} となる。つまり、解\( y_1 \)、\( y_2 \)は \begin{eqnarray} y_1 &=& e^{(k+il)x}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.9.8) \\ y_2 &=& e^{(k-il)x}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.9.9) \end{eqnarray} となる。一般解は重ね合わせの原理より、 \begin{eqnarray} y = C_1 e^{(k+il)x} + C_2 e^{(k-il)x}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.9.10) \end{eqnarray} となる。このままだと実部と虚部がわかりにくいので、オイラーの公式 \begin{eqnarray} e^{\pm ilx} = \cos lx \pm i \sin lx\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.9.11) \end{eqnarray} を使って、式(2.9.10)を書き換える。 \begin{eqnarray} y = C_1 e^{kx} \left( \cos lx + i \sin lx \right) + C_2 e^{kx} \left( \cos lx - i \sin lx \right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.9.12) \end{eqnarray} まとめると、 \begin{eqnarray} y = A e^{kx} \cos lx + B e^{kx} \sin lx\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.9.13) \end{eqnarray} となる。ここで、\( A=C_1 + C_2 \)、\( B = i( C_1 + C_2 ) \)とした。

(iii)\( \lambda \)が重解を持つ時
もう一度、式(2.9.2)を見てみる。 \begin{equation} \lambda^2 + 2a \lambda + b = 0 \end{equation} この二次方程式が重解を持つ場合は、\( a^2= b \)となる。つまり、元の式(2.9.1)は以下のように書き換えられる。 \begin{equation} y’’ + 2a y’ + a^2 y = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.9.14) \end{equation} である。この時、一つの解は\( y_1 = e^{-ax} \)である。 この\( y_1 \)と独立な解を見つけなければならない。これには定数変化法が有効である。 \( y_1 \)と独立な解を \begin{eqnarray} y_2(x) = C(x) y_1 (x) = C(x) e^{-ax}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.9.15) \end{eqnarray} とする。\( y_2 \)を式(2.9.14)に代入すると、 \begin{eqnarray} & &(C’’ y_1 + 2C’ y_1’ + C y_1 ‘’) + 2a(C’y_1 + Cy_1’) + a^2 y_1 C \\ &=& C(y_1’’ + 2ay_1’ + a^2 y_1) + (C’’y_1 + 2C’y_1’ + 2aC’y_1)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.9.16) \end{eqnarray} 下段の最初の括弧内は0になるので、 \begin{eqnarray} C’’y_1 + 2C’y_1’ + 2aC’y_1 &=& C’’ - 2aC’ + 2aC’ \\ &=& C’’ = 0 \end{eqnarray} となる。Cの二階微分が0になる形なので、\( C(x) = C_1 + xC_2 \)の形をとることがわかる。 これを\( y_1 \)との重ね合わせで \begin{eqnarray} y = C_0 e^{-ax} + ( C_1 + xC_2 )e^{-ax} \end{eqnarray} となる。この式の\(C_0,\ C_1,\ C_2 \)の定数をまとめる直して、再定義すると、 \begin{eqnarray} y = ( C_1 + xC_2 )e^{-ax} \end{eqnarray} となるのである。このことから重解の時は\( y_1 = e^{-ax} \)、\( y_2 = xe^{-ax} \)が解の基本形である。

広告