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 2階非同次線形微分方程式


 以下のように表される微分方程式を2階非同次線形微分方程式と呼ぶ。 \begin{equation} y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f(x)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.8.1) \end{equation} 2階非同次線形微分方程式の解法を始めて習った時には、かなり騙されたような気になったことを覚えているが、 これはおそらく仮定が数個、後出しじゃんけんのように入るからであろう。
式(2.8.1)の\( f(x) \)を0と置いてやって、2階同次線形微分方程式 \begin{equation} L(y) = y’’ + p(x)y’ + q(x)y = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.8.2) \end{equation} を作ってやる。この方程式の解が\( y_1,\ y_2 \)であったとする。 すると、この時、定数変化法でなんだか(2.8.1)式は解けるような気がする。 この解を重ね合わせて、 \begin{equation} y(x) = C_1 (x) y_1 + C_2(x) y_2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.8.3) \end{equation} と置く。なんでこの形になるのかは、2階同次線形微分方程式を参考にしてほしい。式(2.8.3)の1階微分は \begin{eqnarray} y’ = C_1 y’_1 + C_2 y’_2 + \left\{ C’_1 y_1 + C’_2 y_2 \right\} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.8.4) \end{eqnarray} となる。ここで、カッコ内は0つまり、 \begin{eqnarray} C’_1 y_1 + C’_2 y_2 = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.8.5) \end{eqnarray} であると仮定する。すると、式(2.8.3)の2階微分も簡単にかけて、 \begin{eqnarray} y’’ = C_1 y’’_1 + C_2 y’’_2 + C’_1 y’_1 + C’_2 y’_2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.8.6) \end{eqnarray} となる。式(2.8.6)と式(2.8.5)を式(2.8.1)に代入すると、 \begin{eqnarray} y’’ + py’ + qy = C_1 \left( y’’_1 + py’_1 + qy_1 \right) + C_2 \left( y’’_2 + py’_2 + qy_2 \right) + C’_1y’_1 + C’_2y’_2 = f(x) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.8.7) \end{eqnarray} となる。ここで、\( y_1,\ y_2 \)は式(2.8.2)の解なので、 \begin{eqnarray} y’’_1 + py’_1 + qy_1 &=& 0 \\ y’’_2 + py’_2 + qy_2 &=& 0 \end{eqnarray} である。すると式(2.8.7)は \begin{eqnarray} C’_1y’_1 + C’_2y’_2 = f(x) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.8.8) \end{eqnarray} となる。これは、式(2.8.5)と式(2.8.8)が成り立つことによって成立している。
つまり、式(2.8.1)はまず、はじめに\( f(x) =0 \)とする、2階同次線形微分方程式として、解\(y_1,\ y_2\)を導き、 それらの解を含んだ、連立方程式 \begin{eqnarray} C’_1 y_1 + C’_2 y_2 &=& 0 \\ C’_1y’_1 + C’_2 y’_2 &=& f(x) \end{eqnarray} を満たすような、\( C_1,\ C_2 \)を求めてやることで、式(2.8.1)の解が得られるのである。  \( y_1’\)と\( y_2’\)は1次独立な解であるので、ロンスキー行列は0でない。つまり、 \begin{eqnarray} \Delta (x) =y_1 y_2’ - y_1 y_2’ \ne 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.8.9) \end{eqnarray} である。普通に上の連立方程式を解いてもいいが、ここでは方程式を導くために以下のように\( C_1’ \)、\( C_2’ \)を解く。 \begin{eqnarray} C_1’ &=& \frac{1}{\Delta} \left| \begin{array}{cc} 0 & y_2 \\ f(x) & y_2’ \end{array} \right| = -\frac{1}{\Delta}f(x) y_2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.8.10) \\ C_2’ &=& \frac{1}{\Delta} \left| \begin{array}{cc} y_1 & 0 \\ y_1’ & f(x) \end{array} \right| = -\frac{1}{\Delta}f(x) y_1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.8.11) \\ \mathrm{\ } \end{eqnarray} 式(2.8.10)、(2.8.11)を積分すると、 \begin{eqnarray} C_1 (x) = - \int \frac{1}{\Delta} f(x) y_2 dx + A_{1} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.8.12) \\ C_2 (x) = \int \frac{1}{\Delta} f(x) y_1 dx + A_{2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.8.13) \end{eqnarray} となる。ここで、\( A_{1} \)、\( A_{2} \)は積分定数である。よって、式(2.8.1)の一般解は、 \begin{eqnarray} y(x) = A_1 y_1 + A_2 y_2 - y_1 \int \frac{1}{\Delta} f(x) y_2 dx + y_2 \int \frac{1}{\Delta} f(x) y_1 dx\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.8.14) \end{eqnarray} である。

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