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 2階同次線形微分方程式


 以下のように表される微分方程式を2階同次線形微分方程式と呼ぶ。 \begin{equation} y’’ + p(x)y’ + q(x)y =0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.7.1) \end{equation} この方程式の解はどのようなものなのか考える。\( p(x) \)、\( q(x) \)が定数のものは定数係数の2階微分線形微分方程式と呼び、別に解説する。 まず、式(2.7.1)を以下のように置き、 \begin{equation} L(x) = y’’ + p(x)y’ + q(x)y = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.7.2) \end{equation} \( C_1, C_2 \)を定数として、\( y = C_1 y_1 + C_2 y_2 \)を式(2.7.2)に代入する。 すると、 \begin{eqnarray} L(C_1 y_1 + C_2 y_2) &=& (C_1 y_1 + C_2 y_2)’’ + p(x)(C_1 y_1 + C_2 y_2)’ + q(x)(C_1 y_1 + C_2 y_2) \\ &=& C_1 y’’_1 + C_2 y’’_2 + p(x)C_1 y’_1 + p(x) C_2 y’_2 + q(x) C_1 y_1 + q(x) C_2 y_2 \\ &=& C_1 (y’’_1 + p(x)y’_1 + q(x)y_1)+ C_2(y’’_2 + p(x)y’_2 + q(x)y_2) \\ &=& C_1 L(y_1) + C_2 L(y_2)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.7.3) \end{eqnarray} となる。 これは何を意味するかというと、\( L(y_1)=L(y_2)=0 \)ならば、\( L(C_1y_1 + C_2y_2)=0 \)であることを意味している。 つまり、\( y_1 \)、\( y_2 \)が式(2.7.1)の解であるならば、\( C_1y_1 + C_2 y_2 \)も式(2.7.1)の解であるということを示している。 これは、解のたし合わせも解であるという微分方程式の解の重要な特性を示しているのである。 このことを重ね合わせの原理と呼ぶ。
 例えば、ある微分方程式の2つの解を\( y_1 \)と\( y_2 \)とし、任意定数\( C_1 \)、\( C_2 \)のどちらかは少なくても0でない定数であるとある。 この時、\( C_1 y_1 + C_2y_2 = 0 \) が常に成り立つならば、\( y_1 \)、\( y_2 \)は互いに1次従属であるという。 そうでない場合は、1次独立という。

ロンスキー行列
1次従属か1次独立かは以下の行列式を解くことですぐに調べることができる。 \begin{equation} \Delta (x) = \begin{vmatrix} y_1(x) & y_2(x) \\ y’_1(x) & y’_2(x) \\ \end{vmatrix} = y_1(x)y’_2(x) - y’_1(x)y_2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.7.4) \end{equation} この行列式が\( \Delta(x) \ne 0 \)である場合、その微分方程式は1次独立である。 1次独立な解の組み合わせは、\( y = C_1 y_1 + C_2y_2 \)は一般解を与える。 式(2.7.4)の行列式はロンスキー行列と呼ぶ。

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