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1階微分方程式(同次方程式と非同次方程式)


 以下のような2つの微分方程式を考える。 \begin{align} \frac{dy}{dx} + f(x)y &= g(x) &(2.3.1) \\ \frac{dy}{dx} + f(x)y &= 0 &(2.3.2) \end{align} ここで、(2.3.2)は(2.3.1)の\( g(x)=0 \)とした微分方程式である。 この時、(2.3.1)は非同次方程式、(2.3.2)は(2.3.1)の同次方程式と呼ばれる。 同次方程式は変数分離系であるので、すぐ解くことができて、 \begin{align} y &= C e^{ - \int f(x) dx } &(2.3.3) \end{align} となる。ここで、\( C \)は積分定数である。
 非同次方程式は定数変化法を使って解くのが一般的である。 式(2.3.3)の積分定数\( C \)を\( x \)の関数\( C(x) \)として、式(2.3.1)を解いていく。 \begin{align} y &= C(x) e^{ - \int f(x) dx } &(2.3.4) \end{align} の両辺を微分すると、 \begin{align} \frac{dy}{dx} &= \frac{dC(x)}{dx} e^{ - \int f(x) dx } - f(x) C(x) e^{ - \int f(x) dx } & \\ &= \frac{dC(x)}{dx} e^{ - \int f(x) dx } - f(x) y &(2.3.5) \end{align} となる。式(2.3.1)と係数比較すると、 \begin{align} g(x) &= \frac{dC(x)}{dx} e^{ - \int f(x) dx } &(2.3.6) \end{align} であることがわかる。この式(2.3.6)を積分すると \begin{align} C(x) &= \int g(x) e^{ - \int f(x) dx } dx + C &(2.3.7) \end{align} となる(Cは積分定数)。この式(2.3.7)を元の式(2.3.4)に代入することで、 非同次方程式の解の公式 \begin{align} y &= e^{ - \int f(x) dx } \left( \int g(x) e^{ - \int f(x) dx } dx + C \right) &(2.3.8) \end{align} を得る。

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