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1階微分方程式(変数分離系)


 次の様に表される微分方程式を変数分離系の微分方程式と呼ぶ。 \begin{equation} \frac{dy}{dx} = f(x)g(y) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.2.1) \end{equation} \( g(y) \ne 0 \)として、各項を移項すると、 \begin{equation} \frac{1}{g(y)} dy = f(x) dx \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.2.2) \end{equation} となる。この形にすれば両辺を積分することができる。 両辺を積分すると、 \begin{equation} \int \frac{1}{g(y)} dy =\int f(x) dx + C \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.2.3) \end{equation} となる。ここで、\( C \)は積分定数である。式(2.2.3)は式(2.2.1)の一般解となる。
ここでは例題として下記の微分方程式を解く。 \begin{equation} \frac{dy}{dx} = \frac{y+1}{x+1} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.2.4) \end{equation} 各項を移項して、 \begin{equation} \frac{dy}{y+1} = \frac{dx}{x+1} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.2.5) \end{equation} として、両辺を積分すると、 \begin{equation} \log (y+1) = \log(x+1) + C \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.2.6) \end{equation} と導かれる。ここで、積分定数\( C \)は\( C=\log C’ \)とすると、 \begin{equation} \log (y+1) = \log (x+1) + \log C’ = \log C’ (x+1) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.2.7) \end{equation} となる。よって、 \begin{equation} y+1 = C’ (x+1) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.2.8) \end{equation} と式(2.2.4)の一般解を導くことができる。

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