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 微分方程式を用いた解法(強制振動:摩擦のない場合)


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図1. ばねにつながれた質点

 図1のようにばねにつながれた質点を考える。ばねの釣り合いの位置を\( x=0 \)とし、右向きを正とする。 この質点には、常に\( F_0 \cos \omega t\)で力が加えられているとする。 この状況を質点の強制振動と呼ぶ。 摩擦が存在する場合とそうでない場合で、状況が変わってくるが、ここでは摩擦がない場合を考える。 摩擦を考慮した強制振動の解き方は力学の教科書を参考にしてほしい。
この質点の運動方程式を立てると、 \begin{eqnarray} m \frac{d^2}{dt^2} x + kx = F_0 \cos \omega t\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \end{eqnarray} となる。2階非同次線形微分方程式であるので、まずは式(1)の右辺を0として、一般解を求める。 \( \omega_0^2 = k/m \)とすると、式(1)の一般解は \begin{eqnarray} x = C_1 e^{i \omega_0 t} + C_1 e^{- i \omega_0 t}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \end{eqnarray} となる。ここで、\( C_1,\ C_2 \)は定数である。この一般解(2)はオイラーの公式により三角関数で表すことができる。 つまり、 \begin{eqnarray} x = A \sin \omega_0 t + B \cos \omega_0 t\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \end{eqnarray} と表すことができるのである。ここで、\( A,\ B \)も定数である。 式(3)は強制振動を表す微分方程式(1)の一般解であり、これは質点の単振動の成分を表している。 では次に特殊解を求めていく。

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 一般解から特殊解も振動を表す解(振動解)が得られることが予想される。 では特殊解を\( x = a \cos \omega t \)であるとして、式(1)に代入する。 すると、 \begin{eqnarray} - \omega^2 a + \omega^2_0 a= \frac{F_0}{m}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4) \end{eqnarray} となり、\( a \)は \begin{eqnarray} a = \frac{F_0/m}{ \omega^2_0 - \omega^2 }\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (5) \end{eqnarray} と求めることができる。 2階非同次線形微分方程式の解は一般解と特殊解の足しあわせであるので、摩擦のない強制振動の解は \begin{eqnarray} x = A\sin \omega_0 t + B\cos \omega_0 t + \frac{F_0/m}{ \omega^2_0 - \omega^2 } \cos \omega t\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6) \end{eqnarray} となる。もし、強制振動の振動数\( \omega \)がばねによる単振動の振動数\( \omega_0 \)より大きければ、 強制振動は、式(6)の右辺第1項と2項で表される単振動を抑える方向に働く、逆に\( \omega \)が\( \omega_0 \)より小さければ、 単振動を強め合うように働くことがわかる。

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