微分方程式を用いた解法（RLC回路）

図1.　ばねにつながれた質点

図1のようにばねにつながれた質点を考える。ばねの釣り合いの位置を\( x=0 \)とし、右向きを正とする。 この質点には、常に\( F_0 \cos \omega t\)で力が加えられているとする。 この状況を質点の

強制振動

摩擦が存在する場合とそうでない場合で、状況が変わってくるが、ここでは摩擦がない場合を考える。 摩擦を考慮した強制振動の解き方は、力学の教科書を参考にしてほしい。

この質点の運動方程式を立てると、 \begin{eqnarray} m \frac{d^2}{dt^2} x + kx = F_0 \cos \omega t\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \end{eqnarray} となる。2階非同次線形微分方程式であるので、まずは式(1)の右辺を0として、一般解を求める。

\( \omega_0^2 = k/m \)とすると、式(1)の一般解は \begin{eqnarray} x = C_1 e^{i \omega_0 t} + C_1 e^{- i \omega_0 t}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \end{eqnarray} となる。ここで、\( C_1,\ C_2 \)は定数である。この一般解(2)はオイラーの公式により三角関数で表すことができる。

つまり、 \begin{eqnarray} x = A \sin \omega_0 t + B \cos \omega_0 t\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \end{eqnarray} と表すことができるのである。ここで、\( A,\ B \)も定数である。 式(3)は強制振動を表す微分方程式(1)の一般解であり、これは質点の単振動の成分を表している。 では次に特殊解を求めていく。

一般解から、特殊解においても振動を表す解（振動解）が得られることが予想される。 では特殊解を\( x = a \cos \omega t \)であるとして、式(1)に代入する。

すると、 \begin{eqnarray} - \omega^2 a + \omega^2_0 a= \frac{F_0}{m}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4) \end{eqnarray} となり、\( a \)は \begin{eqnarray} a = \frac{F_0/m}{ \omega^2_0 - \omega^2 }\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (5) \end{eqnarray} と求めることができる。

2階非同次線形微分方程式の解は、一般解と特殊解の足しあわせであるので、摩擦のない強制振動の解は \begin{eqnarray} x = A\sin \omega_0 t + B\cos \omega_0 t + \frac{F_0/m}{ \omega^2_0 - \omega^2 } \cos \omega t\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6) \end{eqnarray} となる。もし、強制振動の振動数\( \omega \)がばねによる単振動の振動数\( \omega_0 \)より大きければ、 強制振動は、式(6)の右辺第1項と2項で表される単振動を抑える方向に働く、逆に\( \omega \)が\( \omega_0 \)より小さければ、 単振動を強め合うように働くことがわかる。