フーリエ級数の振幅と位相
区間\( [-T/2,\ T/2] \)を一周期とする周期関数のフーリエ級数あるいは、複素フーリエ級数の表す意味を考えてみようと思う。 ここでは、複素フーリエ級数を例にして表す。 複素フーリエ級数は、 \begin{eqnarray} x(t) = \sum^{\infty}_{n=-\infty} C_n e^{i 2n\pi t /T} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \end{eqnarray} と表される。 \( C_n \)や導出の詳細については、複素フーリエ級数のページを参考にして欲しい。 式(1)から考えると以下のようなことが言える。
区間\( [-T/2,\ T/2] \)で定義される任意の周期関数は、周期が\( T/n\ (n=1,\ 2,\ 3,\ 4, \cdots ) \)の無限のharmonic wave \( e^{i2\pi nt/T} = \cos (2n\pi t/T) + i\sin(2n\pi t/T) \)の和で構成されており、各波の成分の強さは\( C_n \)によって与えられるのである。 （この時\(n=0\)は波動成分を持たないので無視する。） また、\(C_n\) は一般的に複素数で表される。 複素成分を位相を示すことから、各成分の位相差はゼロでないことに注意する。
つまり、上で言いたいのは、「周期関数をフーリエ級数で表すと、三角関数の重ね合わせになった。それぞれの三角関数の強さは、その振幅で与えられて、位相は全て揃っているわけではなく、それぞれの三角関数でバラバラですよ」という意味である。 文章だけではイマイチうまくわからないかもしれないので、式で説明することにする。 上では複素フーリエ級数を使って説明したが、フーリエ級数の位相関係を考える上では、通常のフーリエ級数と複素フーリエ級数を合わせて考えた方がわかりやすい。 通常のフーリエ級数は、以下のように表される。 \begin{eqnarray} x(t) &=& \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos \frac{2n\pi t}{T} + b_n \sin \frac{2n\pi t}{T} \right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \end{eqnarray} 詳しい導出とフーリエ係数である\( a_n,\ b_n \)についてはフーリエ級数のページを参考にして欲しい。 式(2)の第1項は波動成分を持たなく、位相は関係ないため、無視する。 シグマの中は\( \cos \)と\( \sin \)で成り立っているので、三角関数の合成が使える。 三角関数の合成を使って、式(2)のシグマの中を書き直すと以下のようになる。 \begin{eqnarray} a_n \cos \frac{2n\pi t}{T} + b_n \sin \frac{2n\pi t}{T} &=& \sqrt{a^2_n + b^2_n} \cos \left( \frac{2n\pi t}{T} - \theta_n \right) \\ &=& \mathcal{Real}\ {\bf X_n}(t)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \end{eqnarray} ここで、\( \mathcal{Real} \)とは実部のことを示し、\( {\bf X}(t) \)は以下のように表される。 \begin{eqnarray} {\bf X}_n(t) &=& \sqrt{a^2_n + b^2_n} e^{i(2n\pi t/T - \theta_n)} \\ &=& X_n e^{i(2n\pi t/T - \theta_n)} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4) \\ \theta_n &=& \tan^{-1} \frac{b_n}{a_n}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (5) \end{eqnarray} このことから、周期\( T/n \)の波の振幅は、\( X_n = \sqrt{a^2_n + b^2_n} \)で、位相は\( \theta_n = \tan^{-1} (b_n/a_n) \)である。 \( {\bf X}_n(t) \)は\( e^{ix}\)の形で表されているので、その実部を横軸、虚部を縦軸にた座標系で表すことができる。 これはオイラーの公式で、\( e^{ix} \)に周期性があることを示した場合と同じ振る舞いである。 図1に\( {\bf X}_n(t) \)を示す。
図1.