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1階微分方程式(完全系)

 

1階微分方程式 \begin{equation} \frac{dy}{dx} = \frac{P(x,\ y)}{Q(x,\ y)}\ \ \ \ \ \ \ (1) \end{equation} を \begin{equation} P(x,\ y)dx + Q(x,\ y)dy = 0\ \ \ \ \ \ \ (2) \end{equation} の形に変形する。この時、 \begin{align} \frac{\partial f(x,\ y)}{\partial x} &= P(x,\ y) &(3)\\ \frac{\partial f(x,\ y)}{\partial y} &= Q(x,\ y) &(4) \end{align} として、式(2)が関数\( f(x,\ y) \)の全微分 \begin{align} df(x,\ y) &= \frac{\partial f(x,\ y)}{\partial x} dx + \frac{\partial f(x,\ y)}{\partial y} dy &(5) \end{align} の形になっていれば、この微分方程式は

完全系

であるという。完全系であれば\( f(x,\ y) \)の全微分は \begin{align} \mathrm{d} f(x,\ y) &= 0 &(6) \end{align} となる。また、証明は省くが、完全系であるための必要十分条件は \begin{align} \frac{\partial P(x,\ y)}{\partial y} = \frac{\partial Q(x,\ y)}{\partial x} \end{align} である。



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