1階微分方程式（同次方程式と非同次方程式）

以下のような２つの微分方程式を考える。 \begin{align} \frac{dy}{dx} + f(x)y &= g(x) &(1) \\ \frac{dy}{dx} + f(x)y &= 0 &(2) \end{align} ここで、(2)は(1)の\( g(x)=0 \)とした微分方程式である。

この時、(1)は

非同次方程式

同次方程式

非同次方程式は、定数変化法を使って解くのが一般的である。 式(3)の積分定数\( C \)を\( x \)の関数\( C(x) \)として、式(1)を解いていく。 \begin{align} y &= C(x) e^{ - \int f(x) dx } &(4) \end{align} の両辺を微分すると、 \begin{align} \frac{dy}{dx} &= \frac{dC(x)}{dx} e^{ - \int f(x) dx } - f(x) C(x) e^{ - \int f(x) dx } & \\ &= \frac{dC(x)}{dx} e^{ - \int f(x) dx } - f(x) y &(5) \end{align} となる。式(1)と係数比較すると、 \begin{align} g(x) &= \frac{dC(x)}{dx} e^{ - \int f(x) dx } &(6) \end{align} であることがわかる。この式(6)を積分すると \begin{align} C(x) &= \int g(x) e^{ - \int f(x) dx } dx + C &(7) \end{align} となる（Cは積分定数）。この式(7)を元の式(4)に代入することで、 非同次方程式の解の公式 \begin{align} y &= e^{ - \int f(x) dx } \left( \int g(x) e^{ - \int f(x) dx } dx + C \right) &(8) \end{align} を得る。