微分方程式を用いた解法（強制振動：摩擦がある場合）

図1.　ばねにつながれた質点

図1のようなバネにつながれた質点を考える。 この質点に対して、\( F = \cos \omega t \)の角振動数\( \omega \)で時間変動する力を加えて振動させる。 このような振動のことを

強制振動

と呼ぶ。

通常は、質点と床の摩擦がない場合を考えるが、このページでは摩擦がある場合を考える。

ではまず、この質点の運動方程式を立てる。 \begin{eqnarray} m \frac{d^2 x}{dt^2} + \alpha \frac{dx}{dt} + k x = f \cos \omega t \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \end{eqnarray} ここで、\(m\)は質点の質量、\( k\)はばね定数である。

そして、\( \alpha \frac{dx}{dt} \)は摩擦力で、速度に係数\( \alpha \)で比例するとする。 ここでまず式を簡単にするために両辺を\( m \)で割る。

\begin{eqnarray} \frac{d^2 x}{dt^2} + \frac{\alpha}{m} \frac{dx}{dt} + k x = \frac{f}{m} \cos \omega t \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \end{eqnarray}

次に、以下のように定数を置き換える。 \begin{eqnarray} \frac{\alpha}{m} &=& 2 \gamma \\ \frac{k}{m} &=& \omega_0^2 \\ \frac{f}{m} &=& = F \end{eqnarray} すると式(2)はさらに綺麗にすることができて、 \begin{eqnarray} \frac{d^2 x}{dt^2} + 2\gamma \frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x = F \cos \omega t \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \end{eqnarray} となる。この形にできたら2階非同次微分方程式として解くことができる。

詳しく解き方を紹介すると複雑になるので、ここでは示さないが、 まず、式(3)の右辺を0として微分方程式を解くと一般解が得られて、 \begin{eqnarray} x = A_0 e^{\gamma t} \cos \left( \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2} t - \phi_0 \right) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4) \end{eqnarray} となる。ここで、\( A_0 \)は定数、\( \phi_0 \)は位相である。

次に特解を求める必要があるがこれは少し複雑である。 通常は、一般解から特解を想像するのだが、この場合はもう少し物理的に考えてみようと思う。

摩擦がある強制振動の場合は

減衰振動

とも呼ばれる。

つまり、初期に与えられた変異による単振動の成分は、摩擦によって時間とともにどんどん減衰してしまい、十分時間があった後には強制振動の\( \cos \omega t\)振動数で振動することになる。

これは式(4)が減衰解であることからもわかる。 従って、特殊解は\( x = A \cos (\omega t + \phi) \)となることが予想できる。 これを加法定理を使って\( x = A( \cos\omega t \cos \phi - \sin \omega t \sin \phi) \)と変形させて、式(3)に代入して未知数\( A \)と\( \phi \)を求める。

まず、代入前に\(x\)の1階微分と2階微分は \begin{eqnarray} \frac{dx}{dt} &=& - A \omega ( \sin \omega t \cos\phi + \cos \omega t \sin \phi ) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (5) \\ \frac{d^2 x}{dt^2} &=& - A \omega^2 (\cos \omega t \cos \phi - \sin \omega t \sin \phi) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6) \end{eqnarray} と表されることを示しておく。

これを式(3)に代入すると以下の関係式を得ることができる。 \begin{eqnarray} - A \omega^2 (\cos \omega t \cos \phi - \sin \omega t \sin \phi) - 2 A \omega \gamma ( \sin \omega t \cos\phi + \cos \omega t \sin \phi ) + A \omega^2_0( \cos\omega t \cos \phi - \sin \omega t \sin \phi) 　　　　= F \cos \omega t \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (7) \end{eqnarray} これを\( \cos \omega t\)と\( \sin \omega t\)に対して整理する。

すると、 \begin{eqnarray} \left\{ A (\omega_0^2 - \omega^2) \cos\phi - 2A \omega \gamma \sin \phi -F \right\} \cos \omega t + \left\{ A(\omega_0^2 + \omega^2)\sin \phi - 2A \omega \gamma \cos \phi \right\} \sin \omega t = 0 　　　\ \ \ \ \ \ \ \ \ (8) \end{eqnarray} を得る。式(8)が常に成り立つためには中括弧\(\{\}\)の内部が0にならなければならない。

よって、 \begin{eqnarray} (\omega_0^2 - \omega^2) \cos\phi - 2 \omega \gamma \sin \phi - \frac{F}{A} &=& 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ (9) \\ (\omega_0^2 + \omega^2)\sin \phi - 2 \omega \gamma \cos \phi &=& 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ (10) \end{eqnarray} の方程式を得る。

この手の連立方程式は解き方があり、まず2つの方程式を2乗することから始める。 \begin{eqnarray} (\omega_0^2 - \omega^2)^2 \cos^2\phi - 2 \omega \gamma (\omega_0^2 - \omega^2) \sin \phi \cos \phi + 4 \omega^2 \gamma^2 \sin^2 \phi &=& \left( \frac{F}{A} \right)^2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ (11) \\ (\omega_0^2 + \omega^2)^2\sin^2 \phi - 2 \omega \gamma (\omega_0^2 + \omega^2) \sin \phi \cos \phi + 4 \omega^2 \gamma^2 \cos^2 \phi&=& 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (12) \end{eqnarray} そして、式(11) + (12)をすることで、 \begin{eqnarray} (\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4 \omega^2 \gamma^2 = \left( \frac{F}{A} \right)^2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (13) \end{eqnarray} を得る。 従って、 \begin{eqnarray} A = \frac{F}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4 \omega^2 \gamma^2}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (14) \end{eqnarray} を得る。

また、式(10)から\( \phi \)に関して \begin{eqnarray} \tan \phi = - \frac{2 \omega \gamma}{\omega_0^2 + \omega^2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (15) \end{eqnarray} を得るのである。

よって、式(2)の特解は \begin{eqnarray} x &=& \frac{F}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4 \omega^2 \gamma^2}} \cos (\omega t + \phi) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (16) \phi &=& \tan^{-1} \left( - \frac{2 \omega \gamma}{\omega_0^2 + \omega^2} \right) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (17) \end{eqnarray} となる。式(2)の解は一般解である式(4)と特解である式(17)の足し合わせで表されるので、 \begin{eqnarray} x = A_0 e^{\gamma t} \cos \left( \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2} t - \phi_0 \right) + \frac{F}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4 \omega^2 \gamma^2}} \cos (\omega t + \phi) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (18) \end{eqnarray} となるのである。これが強制振動の解である。

上で予想したように、第1項は\( e^{-\gamma t} \)によって減衰していき\( t \rightarrow \infty \)で消える。 従って、十分な時間が経った後には式(18)の右辺第二項で表される振動に落ち着くのである。 \( \omega \ne \omega_0 \)の時に生じるうなりは、第1項で表されるので、これによって摩擦のある強制振動の場合、うなりは長くは続かず時間とともにその振る舞いは消えて行く。

広告