微分方程式を用いた解法（LC回路）

コイルとコンデンサを直列につないだLC回路を考える。

LC回路も電磁気の知識を使えば微分方程式を立てることができる。 ここでは、交流と直流の両方の場合の微分方程式を考えて解いてみる。

図1 直流のLC回路

直流の場合

図1に直流のLC回路の回路図を示す。 この回路図のコイルとコンデンサにかかる電圧の足し算は、電池の電圧\( V \)と等しい（キルヒホッフの法則）から以下のような方程式が導ける。

ここで、\( I \)、\( L \)、\( C \)はそれぞれ、電流、コイルのリアクタンス、コンデンサの電気容量である。 なぜこのような方程式が導けるかは電磁気学の教科書を参考にしてほしい。

式(1)を時間で微分する。電池は、直流で電圧に時間的変化はないので、式(1)の右辺は0となる。

このように2階の同次微分方程式で表すことができる。 式(2)は簡単に解くことができて、この回路に流れる電流\( I \)の時間変化は \begin{eqnarray} I(t) = A_0 e^{- i \omega_0 t} + B_0 e^{i \omega_0 t} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \end{eqnarray} となる。ここで、\( \omega_0 = 1 / \sqrt{LC} \)である。オイラーの公式を使って、 \begin{eqnarray} I(t) = A_1 \cos \omega_0 t + B_1 \sin \omega_0 t \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4) \end{eqnarray} と書き直すことができる。ここで、 \begin{align} A_1 &= A_0 + B_0 &(5) \\ B_1 &= (B_0 - A_0)i &(6) \end{align} である。このようにして、直流電源のLC回路の電流の時間変化を得ることができる。

これまでの知識だと\( I(t) = I_0 \cos (\omega t + \phi) \)であると言った電流を仮定して、 この値を式(1)に代入していたが、この方法ならば微分方程式から直接解くことができるのである。 このLC回路は、発振回路や特定の波長を取り出すフィルタ回路など電磁気学において重要な回路なので、興味がある人はぜひ電磁気学の教科書でより深く学んでほしい。

交流の場合

交流の場合は、微分方程式が複雑になる。交流のLC回路のキルヒホッフの法則は \begin{eqnarray} L \frac{dI}{dt} + \frac{1}{C} \int I dt = V(t) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (7) \end{eqnarray} である。ここでこの式を微分する。直流の場合は右辺が0になったが、交流の場合は電圧に時間変化があるので、電圧の微分は0にならない。

これは２階非同次微分方程式である。細かい導出は２階非同次微分方程式で説明されているので、 ここでは詳しく説明しない。

図2. 交流のLC回路

式(8)の一般解は式(3)と同じになる。このことから、電流の時間変化は以下のように書ける。 \begin{eqnarray} I(t) = A_0 e^{-i \omega_0 t} + B_0 e^{i \omega_0 t} - e^{-i \omega_0 t} \int \frac{1}{\Delta} \frac{d}{dt} V(t) e^{i \omega_0 t} dt + e^{i \omega_0 t} \int \frac{1}{\Delta} \frac{d}{dt} V(t) e^{-i \omega_0 t} dt\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (9) \end{eqnarray} と複雑な形となる。ここで、\( \Delta \)はロンスキー行列式で、 \begin{eqnarray} \Delta &=& e^{-i \omega_0 t} \left\{ \frac{d}{dt} e^{i \omega_0 t} \right\} - \left\{ \frac{d}{dt} e^{-i \omega_0 t} \right\} e^{i \omega_0 t} \\ &=& i\omega_0 e^{-i \omega_0 t} e^{i \omega_0 t} - \left( - i \omega_0 e^{-i \omega_0 t}\right)e^{i \omega_0 t} \\ &=& 2 i \omega_0 \end{eqnarray} である。