偏微分と全微分の違いと関係

高校の時に習った微分とはどんなものだっただろうか？

例えば、 \begin{equation} y = 2x^2 + 3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \end{equation} であったとすると、その微分は \begin{equation} \frac{dy}{dx} = 4x \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \end{equation} と表すことができる。

では、 \begin{equation} f = 3x^3 + 5y^2 + 10\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \end{equation} の場合はどうだろうか？

\( x \)を変化させるときに\( y \)も同時に変化する場合はどうやって微分して良いか悩むところである。 ここで、\( x \)だけを変化させて\( y \)を固定して微分する方法を

偏微分

言い換えると、\( f \)を\( x \)で偏微分することは、\( y \)を変数同様に扱って微分するということである。 実際に計算すると、 \begin{equation} \frac{\partial f}{\partial x} = 6x^2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4) \end{equation} となるのである。または、 \begin{equation} \frac{\partial f}{\partial y} = 10y \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (5) \end{equation} である。

導出は、他の教科書などで取り扱っているので、詳しくは説明しないが、\( f \)が\( x,\ y,\ t\)によって変化する時、全微分と偏微分の関係は \begin{equation} \frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{dt} + \frac{\partial f}{\partial t} \ \ \ \ \ \ \ (6) \end{equation} である。この関係は流体力学やプラズマ物理学を始めとする物理の諸問題で頻繁に出てくるので、覚えておくと良い。