代表的な関数のテイラー展開（マクローリン展開）：三角関数（cos・余弦）
三角関数の余弦、\( \cos x \)のマクローリン展開（テイラー展開の原点まわりの展開）を示す。 マクローリン展開は \begin{equation} f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)} (0)}{n!} x^n \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1.12.1) \end{equation} で示される。まず始めに\( f(x) = \cos x \)のn階微分である\( f^{(n)}(x) \)を求める。 正弦（sin x）のマクローリン展開でも示されるように、三角関数の微分は循環関数となる。 余弦（cos x）の1, 2, 3, 4階微分、\( f^{(1)},\ f^{(2)},\ f^{(3)},\ f^{(4)} \)を求める。 \begin{eqnarray} f^{(1)}(x) &=& - \sin x \\ f^{(2)}(x) &=& - \cos x \\ f^{(3)}(x) &=& \sin x \\ f^{(4)}(x) &=& \cos x \end{eqnarray} となることがわかる。この時、\( f(x) = \cos x \)のn階微分、\( f^{(n)}(x) \)は \begin{equation} f^{(n)}(x) = \cos \left( x + \frac{\pi}{2}n \right) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1.12.2) \end{equation} であることがわかる。つまり、微分を１回するごとにcosの位相が90度（\( \pi/2 \)）進むのである。 \( f^{(n)}(0) = \cos \left( \frac{\pi}{2}n \right) \)を式(1.12.1)に代入すると \begin{equation} f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\cos \left( \frac{\pi}{2}n \right)}{n!} x^n = 1 + 0 - \frac{x^2}{2!} + 0 + \frac{x^4}{4!} + \cdots \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1.12.3) \end{equation} を得る。まとめると、\( cos x \)のマクローリン展開を以下のように示される。 \begin{equation} f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n)!} x^{2n} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1.12.4) \end{equation} 最後に収束半径を求める。 \begin{eqnarray} a_n &=& \frac{(-1)^{n}}{(2n)!} x^{2n} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1.12.5) \\ a_{n+1} &=& \frac{(-1)^{(n+1)}}{(2n+2)!} x^{2n+2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1.12.6) \end{eqnarray} としてダランベールの判別式に代入する。 \begin{equation} \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| - \frac{2n!}{(2n+2)!} x^2 \right| = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1.12.7) \end{equation} となり、収束半径は無限である。 （ダランベールの判別式が1より小さければマクローリン展開は収束する。この場合、xにどの値を代入してもダランベールの判別式は0になるからである。）