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代表的な関数のテイラー展開(マクローリン展開):三角関数(sin・正弦)


 三角関数の正弦、\( \sin x \)のマクローリン展開(テイラー展開の原点まわりの展開)を示す。 マクローリン展開は \begin{equation} f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)} (0)}{n!} x^n \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1.12.1) \end{equation} で示される。まず始めに\( f(x) = \sin x \)のn階微分である\( f^{(n)}(x) \)を求める。 三角関数は微分を繰り返しても再び同じ値に戻ってくる循環関数になる。 具体的には微分を繰り返せばわかるので、以下のように示す。 \begin{eqnarray} f(x) &=& \sin x \\ f^{(1)}(x) &=& \cos x \\ f^{(2)}(x) &=& - \sin x \\ f^{(3)}(x) &=& - \cos x \\ f^{(4)}(x) &=& \sin x \end{eqnarray} このように4階微分することで再び\( \sin x \)に戻ってくるのである。 このままではわからないので、\( x=0 \)を代入する。 \begin{eqnarray} f(0) &=& \sin 0 = 0 \\ f’(0) &=& \cos 0 = 1 \\ f^{(2)}(0) &=& - \sin 0 = 0 \\ f^{(3)}(0) &=& - \cos 0 = -1 \\ f^{(4)}(0) &=& \sin 0 = 0 \end{eqnarray} これでもちょっとわからないかもしれないが、0, 1, 0, -1, 0となる変化は単位円でよく見られる。 つまり、位相が90度(\( \pi/2 \))づつ微分一回で増えていることに気づく。 よって、\( \sin x \)のn階微分は \begin{equation} f^{(n)}(x) = \sin \left( x + \frac{\pi}{2}n \right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1.12.2) \end{equation} となる。これを\( x=0 \)として、マクローリン展開の式(1.12.1)に代入すると \begin{equation} f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\sin ( \frac{\pi}{2} n )}{n!} x^n \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1.12.3) \end{equation} となる。次に、シグマを展開する。すると、 \begin{eqnarray} f(x) &=& \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\sin ( \frac{\pi}{2} n )}{n!} x^n = 0 + x + 0 - \frac{1}{6}x^3 + 0 + \frac{1}{120}x^5 + \cdots \\ &=& x - \frac{1}{3!} x^3 + \frac{1}{5!}x^5 - \cdots \\ &=& \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{(2n+1)}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1.12.4) \end{eqnarray} を得るのである。
 最後に収束半径を求める。ダランベールの判別式に\( a_n = \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{(2n+1)} \)、\( a_{n+1} = \frac{(-1)^{(n+1)}}{(2n+2)!} x^{(2n+2)} \)代入すると、 \begin{equation} \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| -\frac{x}{(2n + 2)} \right| = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1.12.5) \end{equation} となり、収束半径は無限である。 (ダランベールの判別式が1より小さければマクローリン展開は収束する。この場合、xにどの値を代入してもダランベールの判別式は0になるからである。)
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