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代表的な関数のテイラー展開(マクローリン展開):対数関数2


対数関数\( \log (1-x) \)のマクローリン展開(テイラー展開の原点まわりの展開)を示す。

マクローリン展開は \begin{equation} f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)} (0)}{n!} x^n \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \end{equation} で示される。

まず始めに\( \log (1-x) \)のn階微分である\( f^n(x) \)を求める。 ここで、対数関数\( \log (1-x) \)を\( f(x) \)として、1階微分、2階微分、3階微分と計算していく。 \begin{eqnarray} f’(x) &=& - \frac{1}{1-x} \\ f’’(x) &=& - \frac{1}{(1-x)^2} \\ f’’’(x) &=& - \frac{2}{(1-x)^3} \\ f’’’’(x) &=& - \frac{6}{(1-x)^4} \end{eqnarray} これらから\( f(x) \)のn階微分、\( f^{n}(x) \)は以下のように表される。 \begin{equation} f^{n}(x) = - \frac{(n-1)!}{(1-x)^n}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \end{equation} このことから\( f^n(0) = - (n-1)! \)となる。


\( \log(1-x) \)のマクローリン展開は式(2)の\( x=0 \)の場合を代入することで、 \begin{equation} f(x) = - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n-1)!}{n!} x^n = - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \end{equation} を得ることができる。


 

最後に収束半径を求める。\( a_n = \frac{x^n}{n} \)、\( a_{n+1} = \frac{x^{(n+1)}}{(n+1)} \)として、 ダランベールの判別式に代入すると \begin{equation} \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = |x| \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \end{equation} を得る。ダランベールの判別式が1より小さければマクローリン展開は収束するので、収束半径は \begin{equation} -1 < x < 1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4) \end{equation} となる。

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