ばね振り子
図2-6 ばね振り子
座標を図の様にとり、ばねの自然長を\( l_0 \)、ばねと天井が交わる点を原点とする。 まず、運動エネルギー\( T \)は \begin{equation} T = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 + \frac{1}{2} m \dot{y}^2 \end{equation} と書ける。ここで極座標系に以下のように\(x,y\)を書き換える。 \begin{eqnarray} \dot{x} &=& \dot{l}\cos \theta - l \dot{\theta} \sin \theta \\ \dot{y} &=& \dot{l}\sin \theta + l \dot{\theta} \cos \theta \end{eqnarray} 糸に付けられた質点の場合は\( \dot{l}=0 \)であったが、 ばねの場合は質点と原点の距離が変化するので、運動エネルギー\( T \)は \begin{equation} T = \frac{1}{2} m \left( \dot{l}^2 + l^2 \dot{\theta}^2 \right) \end{equation} となる。質点のポテンシャル・エネルギー\( U \)は重力とばねの位置エネルギーの足し合わせで \begin{equation} U = - mgl\cos \theta + \frac{1}{2} k (l_0 -l)^2 \end{equation} であるので、この系のラグラジアン\( {\cal L} \)は \begin{equation} {\cal L} = L - U = \frac{1}{2} m \left( \dot{l}^2 + l^2 \dot{\theta}^2 \right) + mgl\cos \theta - \frac{1}{2} k (l_0 -l)^2 \end{equation} となる。これをラグランジュ方程式に代入するのだが、上記のラグラジアンは変数が\(\theta\)と\(l\)の２つ存在する。 よってラグランジュ方程式は \begin{eqnarray} \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial {\cal L}}{\partial \dot{\theta}} \right) &=& \frac{\partial {\cal L}}{\partial \theta} \\ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial {\cal L}}{\partial \dot{l}} \right) &=& \frac{\partial {\cal L}}{\partial l} \end{eqnarray} の２つの方程式が立つ。 この２つのラグランジュ方程式を解く。 まず、\( \theta \)に関するラグランジュ方程式を解くと \begin{eqnarray} \frac{d}{dt} \left(m l^2 \dot{\theta} \right) &=& -mgl \sin\theta \\ 2ml\dot{l}\dot{\theta} + ml^2 \ddot{\theta} &=& -mgl \sin\theta \\ l \ddot{\theta} &=& -2\dot{l}\dot{\theta} - g \sin \theta \end{eqnarray} となり、\(l\)について解くと、 \begin{eqnarray} m \ddot{l} = ml\dot{\theta}^2 + mg\cos \theta - k(l-l_0) \end{eqnarray} と求めることができる。これで、\(\theta, l\)に関する運動方程式を導出できた。
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