ばねにつながれた質点
図2-1 ばねにつながれた質点
質点の運動は水平面のみなので、運動エネルギー\(T\)は \begin{equation} T = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 \end{equation} である。この系の質点に働く力はばねによる力のみで\( F=-kx \)である。ポテンシャルエネルギー\( U \)は \begin{equation} F = - \frac{dU}{dx} \end{equation} であるので、\(F\)を\(x\)に対して積分して-をかけてやることで、 \begin{equation} U = \frac{1}{2} k x^2 \end{equation} となる。運動エネルギーとポテンシャルエネルギーを得ることができたのでラグラジアン\( \cal L \)は \begin{equation} {\cal L} = T - U = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 - \frac{1}{2} k x^2 \end{equation} となる。ラグラジアン\( {\cal L} \)をラグランジュ方程式 \begin{equation} \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial {\cal L}}{\partial \dot{x}} \right) = \frac{\partial {\cal L}}{\partial x} \end{equation} に代入すると \begin{eqnarray} \frac{d}{dt} \left( m \dot{x} \right) &=& - kx \\ m \ddot{x} &=& - kx \end{eqnarray} が導かれ、力の釣り合いから求めた運動方程式と一致する。
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