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 余弦波の自己相関関数

 正弦波(サイン波・sin)の自己相関関数は、余弦波で表されるのであった。 では、余弦波(コサイン波・cos)の自己相関関数はどのように表されるのであろうか? 正弦波の自己相関関数が余弦波になるのだから、余弦波の自己相関関数は正弦波になるのであろうか?

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図1.

 図1に余弦波をプロットした。 余弦波を\( x(t) \)として、 \begin{eqnarray} x(t) = a \cos (\omega t + \phi) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \end{eqnarray} で表す。この時、図1では\( \phi = 0\)としていることに注意する。 この時、\( x(t + \tau ) \)は \begin{eqnarray} x(t + \tau ) = a \cos (\omega (t + \tau) + \phi) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \end{eqnarray} である。この\( \tau \)を変化させていき、\( x(t) \)との相関を取ることで余弦波の自己相関関数が得られるのであった。 まず、\( \tau = 0\)の時は、当然ながら自己相関関数は最大となる。 次に、\( \tau = T \)の時に自己相関関数が最大になる。 このことから、\( \tau = nT \)の時に自己相関が最大となることがわかる。 これらの変化を見ていると、余弦波の自己相関関数は正弦波となるのではなく、正弦波の時と同じように、余弦波の自己相関関数も余弦波で表されるのではないかという予想ができる。 では以下では実際に確かめてみる。
 余弦波の自己相関関数を求めるために、\( x(t) x(t+ \tau ) \)を求める。 \begin{eqnarray} x(t)x(t+\tau) &=& a^2 \cos (\omega t + \phi) \cos (\omega (t + \tau) + \phi) \\ \\ &=& a^2 \cos^2 (\omega t + \phi) \cos \omega \tau - a^2 \cos (\omega t + \phi)\sin (\omega t + \phi) \sin \omega \tau \\ \\ &=& a^2 \frac{1 + \cos (2\omega t + 2\phi)}{2} \cos \omega \tau - \frac{a^2}{2} \sin (2\omega t + 2\phi) \sin \omega \tau \\ \\ &=& \frac{a^2}{2} \cos \omega \tau + \frac{a^2}{2} \cos (2 \omega t + 2 \phi + \omega \tau )\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \end{eqnarray} 式(3)のように求められれた、\( x(t) x(t+\tau) \)のアンサンブル平均を求める。 アンサンブル平均を取るためには、第\(i\)番目の標本を、 \begin{eqnarray} x(t)x(t+\tau) &=& \frac{a^2}{2} \cos \omega \tau + \frac{a^2}{2} \cos (2 \omega t + 2 \phi_i + \omega \tau )\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \end{eqnarray} として、平均を取らなくてはいけない。これは、時刻\( t \)での様々な位相の\( x(t) x(t+\tau) \)の平均を求めるという事である。 つまり、余弦波の自己相関関数\( C(\tau) \)は \begin{eqnarray} C(\tau) &=& E\left[ x_i(t)x_i(t+\tau) \right] \\ &=& \frac{a^2}{2} \cos \omega \tau +\frac{a^2}{2} E\left[ \cos (2 \omega t + 2 \phi_i + \omega \tau ) \right]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4) \end{eqnarray} と表される。ここで、\( E \)はアンサンブル平均を意味する。 式(4)の第二項について考える。 第二項は簡単に言うと、余弦波の時刻\( t \) における様々な位相に対する平均ということである。 標本数を増やせば増やすほど、第二項は0に近づく。 今、標本数は無限を考えているので、式(4)の右辺第二項は0となる。 つまり、余弦波の自己相関関数\( C(\tau) \)は、 \begin{eqnarray} C(\tau) = \frac{a^2}{2} \cos \omega \tau\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (5) \end{eqnarray} となるのである。 つまり、正弦波の場合も余弦波の場合も自己相関関数は、余弦波で表されるのである。 余弦波の自己相関係数\( R(\tau) \)はもちろん、 \begin{eqnarray} R(\tau) = \cos \omega \tau\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6) \end{eqnarray} である。 途中式で不明点がある場合は、正弦波の自己相関関数のページを参照して欲しい。

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