余弦波の自己相関関数
正弦波(サイン波・sin)の自己相関関数は、余弦波で表されるのであった。 では、余弦波(コサイン波・cos)の自己相関関数はどのように表されるのであろうか? 正弦波の自己相関関数が余弦波になるのだから、余弦波の自己相関関数は正弦波になるのであろうか?
図1.
余弦波の自己相関関数を求めるために、\( x(t) x(t+ \tau ) \)を求める。 \begin{eqnarray} x(t)x(t+\tau) &=& a^2 \cos (\omega t + \phi) \cos (\omega (t + \tau) + \phi) \\ \\ &=& a^2 \cos^2 (\omega t + \phi) \cos \omega \tau - a^2 \cos (\omega t + \phi)\sin (\omega t + \phi) \sin \omega \tau \\ \\ &=& a^2 \frac{1 + \cos (2\omega t + 2\phi)}{2} \cos \omega \tau - \frac{a^2}{2} \sin (2\omega t + 2\phi) \sin \omega \tau \\ \\ &=& \frac{a^2}{2} \cos \omega \tau + \frac{a^2}{2} \cos (2 \omega t + 2 \phi + \omega \tau )\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \end{eqnarray} 式(3)のように求められれた、\( x(t) x(t+\tau) \)のアンサンブル平均を求める。 アンサンブル平均を取るためには、第\(i\)番目の標本を、 \begin{eqnarray} x(t)x(t+\tau) &=& \frac{a^2}{2} \cos \omega \tau + \frac{a^2}{2} \cos (2 \omega t + 2 \phi_i + \omega \tau )\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \end{eqnarray} として、平均を取らなくてはいけない。これは、時刻\( t \)での様々な位相の\( x(t) x(t+\tau) \)の平均を求めるという事である。 つまり、余弦波の自己相関関数\( C(\tau) \)は \begin{eqnarray} C(\tau) &=& E\left[ x_i(t)x_i(t+\tau) \right] \\ &=& \frac{a^2}{2} \cos \omega \tau +\frac{a^2}{2} E\left[ \cos (2 \omega t + 2 \phi_i + \omega \tau ) \right]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4) \end{eqnarray} と表される。ここで、\( E \)はアンサンブル平均を意味する。 式(4)の第二項について考える。 第二項は簡単に言うと、余弦波の時刻\( t \) における様々な位相に対する平均ということである。 標本数を増やせば増やすほど、第二項は0に近づく。 今、標本数は無限を考えているので、式(4)の右辺第二項は0となる。 つまり、余弦波の自己相関関数\( C(\tau) \)は、 \begin{eqnarray} C(\tau) = \frac{a^2}{2} \cos \omega \tau\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (5) \end{eqnarray} となるのである。 つまり、正弦波の場合も余弦波の場合も自己相関関数は、余弦波で表されるのである。 余弦波の自己相関係数\( R(\tau) \)はもちろん、 \begin{eqnarray} R(\tau) = \cos \omega \tau\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6) \end{eqnarray} である。 途中式で不明点がある場合は、正弦波の自己相関関数のページを参照して欲しい。 広告