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自己相関関数の微分

 自己相関関数の微分を求める。 自己相関関数は偶関数であるので、 \begin{eqnarray} C(\tau) = C(-\tau)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \end{eqnarray} の関係があるのである。

fig2-11-1.png
図1.

図1の赤い点線は\( C(\tau) \)及び、\( C(-\tau) \)での微分を表している。 このことから、式(1)の両辺の微分は、以下のように表される。 \begin{eqnarray} C’(\tau) = - C’(-\tau)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \end{eqnarray} ちなみに、自己相関関数は\( \tau = 0\)で最大値を取るので、\( \tau=0 \)での微分は0になる(\( C’(0) = 0 \))。 簡単に示しただけではあるが、自己相関関数の微分はこのような特徴を持つのである。
では、次に式で一階微分と二階微分を求めて行く。 自己相関関数の1階微分は簡単に、 \begin{eqnarray} C’(\tau) = \frac{d\ C(\tau)}{d\ \tau} = \lim_{T\rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int^{T/2}_{-T/2} x(t) x’(t+\tau) \ dt\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \end{eqnarray} で表される。\( \tau= 0 \)での振る舞い等は上で示した通りである。
 二階数微分は以下のように求める。 式(3)において、\( \alpha = t + \tau \)と置くことで、 \begin{eqnarray} C’(\tau) = \lim_{T\rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int^{T/2 + \tau}_{-T/2 + \tau} x’(\alpha) x(\alpha-\tau) \ d\alpha \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4) \end{eqnarray} を得る。ここで、積分区間\([-T/2 + \tau,\ T/2 + \tau]\)は\( T \rightarrow \infty \)の極限では、積分区間\([-T/2,\ T/2]\)と等しくなる。 つまり、 \begin{eqnarray} C’(\tau) = \lim_{T\rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int^{T/2}_{-T/2} x’(\alpha) x(\alpha-\tau) \ d\alpha \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (5) \end{eqnarray} と書き換えることができる。 この式(5)を\( \tau \)でもう一度微分することで、 \begin{eqnarray} C’’(\tau) = - \lim_{T\rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int^{T/2}_{-T/2} x’(\alpha) x’(\alpha-\tau) \ d\alpha \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6) \end{eqnarray} を得る。ここで、\( t = \alpha - \tau \)の変数変換を行うことで、自己相関関数の二階微分\( C’’(\tau)\)は、 \begin{eqnarray} C’’(\tau) = - \lim_{T\rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int^{T/2}_{-T/2} x’(t) x’(t+\tau) \ dt \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (7) \end{eqnarray} と求めることができるのである。

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