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自己相関関数の一般的性質(最大値)

 自己相関関数は\( \tau = 0\)で最大値を取るということを示そうと思う。( \( \tau \)はラグである。) 今、\( \left\{ x(t) \pm x(t+\tau) \right\}^2 \)の平均\( \overline{ \left\{ x(t) \pm x(t+\tau) \right\}^2 } \)を考える。 \begin{eqnarray} \overline{ \left\{ x(t) \pm x(t+\tau) \right\}^2 } = \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int^{T/2}_{-T/2} \left\{ x(t) \pm x(t+\tau) \right\}^2 \ dt\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \end{eqnarray} ここで、\( x(t) \)は周期関数でなく、\( \tau \ne 0\)である。 平均値、\( \overline{ \left\{ x(t) \pm x(t+\tau) \right\}^2 } \)は0より大きい。 このことを踏まえて式(1)を展開すると、 \begin{eqnarray} \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int^{T/2}_{-T/2} x^2(t) \ dt + \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int^{T/2}_{-T/2} x^2(t+\tau) \ dt \pm 2 \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int^{T/2}_{-T/2} x(t) x(t+\tau) \ dt > 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \end{eqnarray} を得る。ここで、 \begin{eqnarray} \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int^{T/2}_{-T/2} x^2(t) \ dt &=& C(0) \\ \\ \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int^{T/2}_{-T/2} x^2(t+\tau) \ dt &=& C(0) \\ \\ \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int^{T/2}_{-T/2} x(t) x(t+\tau) \ dt &=& C(\tau) \end{eqnarray} であることに気づくと、 \begin{eqnarray} C(0) > \pm C(\tau) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \end{eqnarray} であることがわかる。 このことから、自己相関関数は\( \tau = 0 \)で必ず最大値を取るのである。

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