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 フーリエ変換の性質(複素共役)

 フーリエ変換とフーリエ逆変換は以下のように表させる。 \begin{eqnarray} x(t) &=& \int^{\infty}_{-\infty} X(f) e^{i2\pi ft}\ df \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \\ X(f) &=& \int^{\infty}_{-\infty} x(t) e^{-i2\pi ft}\ dt \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \end{eqnarray} ここで、\( \omega = 2\pi f \)としていないことに注意する。 この時、\( X(f) \)は複素関数であるので、このことを複素フーリエ成分と呼ぶことがある。 ここでは、複素フーリエ成分について説明する。 フーリエ級数の振幅と位相の関係のページで説明したように、複素関数である複素フーリエ成分\( X(f) \)も虚部と実部の座標系(複素平面)に表示することができる。 \( X(f) \)の絶対値を\( |X(f)| \)とすると、 \begin{eqnarray} X(f) = |X(f)| e^{i\theta_f} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \end{eqnarray} とすることで、複素平面において絶対値と偏角\( \theta_f \)によって表すことができる。 式(3)を式(1)に代入することで、 \begin{eqnarray} x(t) &=& \int^{\infty}_{-\infty} X(f) e^{i \left( 2\pi ft + \theta_f \right)}\ df \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4) \end{eqnarray} を得る。これにより、フーリエ級数の振幅と位相の関係と同じように、\( x(t) \)は複素平面を周波数\( f\)で回転するベクトル\( X(f) \)の集まりであるとみなすことができるのである。

\( X(f) \)の複素共役

 では、複素フーリエ成分\( X(f) \)に戻って、\( X(f) \)の複素共役\( X^*(f) \)について考える。 式(2)を見て見る。 \( x(t) \)が実数であることから、 \begin{eqnarray} X(-f) &=& \int^{\infty}_{-\infty} x(t) e^{i2\pi ft}\ dt \\ &=& X^*(f) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (5) \end{eqnarray} の関係があることがわかる。 この\( X(-f) = X^*(f) \)の関係は、フーリエ解析を学ぶ上でも、物理数学などの基礎物理を学ぶ上でも重要な性質である。 また、複素共役どうしの絶対値は等しいので、\( |X(f)| = |X(-f)| \)の関係を導くことができる。 以上をまとめると、フーリエ変換の特徴として、 \begin{eqnarray} X(-f) &=& X^*(f) \\ \\ |X(f)| &=& | X(-f) | \\ \end{eqnarray} であることが言える。この関係は重要なので、ぜひ覚えておいて欲しい。

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