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 フーリエ積分・フーリエ変換

 区間\( [-T/2,\ T/2] \)を一周期とする周期関数の複素フーリエ級数は、 \begin{eqnarray} x(t) = \sum^{\infty}_{n=-\infty} C_n e^{i 2n\pi t /T} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \end{eqnarray} と表される。 ここで、\( C_n \)は、 \begin{eqnarray} C_n = \frac{1}{T} \int^{T/2}_{-T/2} x(t) e^{-i2n\pi t/T}\ dt\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \end{eqnarray} である。上にもかいてあるとおり、これは区間\( [-T/2,\ T/2] \)を考えている。 ではここで、\( T \rightarrow \infty \)に拡張することを考える。 今、\( T \)が有限な値であるとすると、\( T/n \)というのは第n次高調波の周期である。 第n次高調波の周波数はその逆数を取って、 \begin{eqnarray} f_n = \frac{n}{T}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \end{eqnarray} である。\( n \)は\( 1,\ 2,\ 3,\ 4, \cdots \)という飛び飛びの値を持つため、\( f_n \)は連続的な関数ではなく、飛び飛びの値を持つ数列のような特徴を持つ。 \( n+1 \)と\( n \)における周波数差\( \delta f \)は、 \begin{eqnarray} \delta f = f_{n+1} - f_n = \frac{n+1}{T} - \frac{n}{T} = \frac{1}{T}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4) \end{eqnarray} となるのである。 ここで、式(1)に立ち返る。 式(2)を式(1)に代入することで、 \begin{eqnarray} x(t) = \sum^{\infty}_{n=-\infty} \left\{ \frac{1}{T} \int^{T/2}_{-T/2} x(t) e^{-i2n\pi t/T}\ dt \right\} e^{i2n\pi t/T}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (5) \end{eqnarray} を得る。この式(5)を式(3)と式(4)を使って書き直すと、 \begin{eqnarray} x(t) = \sum^{\infty}_{n=-\infty} \delta f\ \left\{ \int^{T/2}_{-T/2} x(t) e^{-i2\pi f_n\ t}\ dt \right\} e^{i2\pi f_n\ t}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6) \end{eqnarray} を得る。この式の右辺を使って、\( T \rightarrow \infty \)を取る。すると、 \begin{eqnarray} x(t) = \lim_{T \rightarrow \infty} \sum^{\infty}_{n=-\infty} \delta f\ \left\{ \int^{T/2}_{-T/2} x(t) e^{-i2\pi f_n\ t}\ dt \right\} e^{i2\pi f_n\ t}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (7) \end{eqnarray} を得るのである(式(6)に\( \lim \)を付けただけ)。 ここで、\(T \rightarrow \infty\)の意味を考えてみる。 周期に対して、無限の極限を取ることで、\( \delta f \)は\( \delta f \rightarrow 0\)の極限を与えられる。 これは、その周波数差が限りなく0に近いということなので、\( f_n \)が飛び飛びの値を取るのではなく、\( T \rightarrow \infty\)の極限では、連続的な\( f \)という関数で表されることを意味する。 また、\( T/2 \rightarrow \infty \)、\( -T/2 \rightarrow -\infty \)となる。さらに、積分の定理から \begin{eqnarray} \lim_{T \rightarrow \infty} \sum^{\infty}_{n=-\infty} \delta f = \int^{\infty}_{-\infty} df \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (8) \end{eqnarray} が与えられるのである。 よって、式(7)は以下のように書き換えられる。 \begin{eqnarray} x(t) = \int^{\infty}_{-\infty} df\ \left\{ \int^{\infty}_{-\infty} x(t) e^{-i2\pi f \ t}\ dt \right\} e^{i2\pi f \ t}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (9) \end{eqnarray} この式(9)から以下のことが言える。 \begin{eqnarray} x(t) &=& \int^{\infty}_{-\infty} X(f) e^{i2\pi ft}\ df \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (10) \\ X(f) &=& \int^{\infty}_{-\infty} x(t) e^{-i2\pi ft}\ dt \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (11) \end{eqnarray} この2式はフーリエ解析を学ぶ上で非常に重要な式である。 色々流儀はあるのだが、\( x(t) \)を\( X(f) \)に変換する式(11)のことをフーリエ変換といい、 \( X(f) \)を\( x(t) \)に変換する式(10)のことをフーリエ逆変換と言う。
 尚、なぜ式(11)は\( X(f) \)となり周波数\( f \)の関数となるのか簡単に述べておく。 \( X(f) \)は式(7)に由来している。 \( x(t) \)は時間\( t\)の関数ではあるが、\( \sum \)が右辺にあるため、式(7)の右辺のカッコ内では\( n \)が変数として働く。 (実際に\(n\)は\( -\infty \sim \infty \)まで変化するが、1, 2, 3, 4といった飛び飛びの値を持つことに注意)。 \( n \)は\( f\)と式(3)の関係があるので、\( n \)の変化は\( f\)の変化を意味する。 \( T \rightarrow \infty \)の極限を取ることで\( \delta f \rightarrow 0\)となり、\( f\)が連続的な値を持つことになる。 つまり、式(7)の括弧内部では\( f\)が変数として振る舞うため、\( X(f) \)となるのである。
 フーリエ変換とフーリエ逆変換の関係は式(10)、(11)よりも多くの場面では、 \begin{eqnarray} \omega = 2 \pi f \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (12) \end{eqnarray} と変換して表示される。 式(12)を使って、式(9)を書き直すと、 \begin{eqnarray} x(t) = \frac{1}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty} d\omega\ \left\{ \int^{\infty}_{-\infty} x(t) e^{-i \omega \ t}\ dt \right\} e^{i \omega \ t}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (13) \end{eqnarray} となる。ここで、\(x(t)\)と\( X(\omega)\)に分けるのだが、通常は\( 2 \pi \)を両方に振り分ける。 どういうことかというと、 \begin{eqnarray} x(t) &=& \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int^{\infty}_{-\infty} X(\omega) e^{i \omega t}\ d\omega \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (13) \\ X(\omega) &=& \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int^{\infty}_{-\infty} x(t) e^{-i \omega t}\ dt \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (14) \end{eqnarray} という形にするのである。通常、教科書などではこの式(13)と式(14)の形でフーリエ変換とフーリエ逆変換が表されていることが多い。

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