トップ > スペクトル解析 > フーリエ級数の振幅と位相

 フーリエ級数の振幅と位相

 区間\( [-T/2,\ T/2] \)を一周期とする周期関数のフーリエ級数あるいは、複素フーリエ級数の表す意味を考えてみようと思う。 ここでは、複素フーリエ級数を例にして表す。 複素フーリエ級数は、 \begin{eqnarray} x(t) = \sum^{\infty}_{n=-\infty} C_n e^{i 2n\pi t /T} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \end{eqnarray} と表される。 \( C_n \)や導出の詳細については、複素フーリエ級数のページを参考にして欲しい。 式(1)から考えると以下のようなことが言える。

 区間\( [-T/2,\ T/2] \)で定義される任意の周期関数は、周期が\( T/n\ (n=1,\ 2,\ 3,\ 4, \cdots ) \)の無限のharmonic wave \( e^{i2\pi nt/T} = \cos (2n\pi t/T) + i\sin(2n\pi t/T) \)の和で構成されており、各波の成分の強さは\( C_n \)によって与えられるのである。 (この時\(n=0\)は波動成分を持たないので無視する。) また、\(C_n\) は一般的に複素数で表される。 複素成分を位相を示すことから、各成分の位相差はゼロでないことに注意する。

 つまり、上で言いたいのは、「周期関数をフーリエ級数で表すと、三角関数の重ね合わせになった。それぞれの三角関数の強さは、その振幅で与えられて、位相は全て揃っているわけではなく、それぞれの三角関数でバラバラですよ」という意味である。 文章だけではイマイチうまくわからないかもしれないので、式で説明することにする。 上では複素フーリエ級数を使って説明したが、フーリエ級数の位相関係を考える上では、通常のフーリエ級数と複素フーリエ級数を合わせて考えた方がわかりやすい。 通常のフーリエ級数は、以下のように表される。 \begin{eqnarray} x(t) &=& \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos \frac{2n\pi t}{T} + b_n \sin \frac{2n\pi t}{T} \right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \end{eqnarray} 詳しい導出とフーリエ係数である\( a_n,\ b_n \)についてはフーリエ級数のページを参考にして欲しい。 式(2)の第1項は波動成分を持たなく、位相は関係ないため、無視する。 シグマの中は\( \cos \)と\( \sin \)で成り立っているので、三角関数の合成が使える。 三角関数の合成を使って、式(2)のシグマの中を書き直すと以下のようになる。 \begin{eqnarray} a_n \cos \frac{2n\pi t}{T} + b_n \sin \frac{2n\pi t}{T} &=& \sqrt{a^2_n + b^2_n} \cos \left( \frac{2n\pi t}{T} - \theta_n \right) \\ &=& \mathcal{Real}\ {\bf X_n}(t)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \end{eqnarray} ここで、\( \mathcal{Real} \)とは実部のことを示し、\( {\bf X}(t) \)は以下のように表される。 \begin{eqnarray} {\bf X}_n(t) &=& \sqrt{a^2_n + b^2_n} e^{i(2n\pi t/T - \theta_n)} \\ &=& X_n e^{i(2n\pi t/T - \theta_n)} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4) \\ \theta_n &=& \tan^{-1} \frac{b_n}{a_n}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (5) \end{eqnarray} このことから、周期\( T/n \)の波の振幅は、\( X_n = \sqrt{a^2_n + b^2_n} \)で、位相は\( \theta_n = \tan^{-1} (b_n/a_n) \)である。 \( {\bf X}_n(t) \)は\( e^{ix}\)の形で表されているので、その実部を横軸、虚部を縦軸にた座標系で表すことができる。 これはオイラーの公式で、\( e^{ix} \)に周期性があることを示した場合と同じ振る舞いである。 図1に\( {\bf X}_n(t) \)を示す。

fig1-2-1.png

図1.

\( {\bf X}_n(t) \)は絶対値が\( X_n = \sqrt{a^2_n + b^2_n} \)で位相が\( -\theta_n \)、周期が\( T/n \)でこの座標系を反時計周りに回転するベクトルであることがわかる。実際には式(2), (3)から、 \begin{eqnarray} x(t) = \frac{a_0}{2} + \mathcal{Real} \left[ \sum^{\infty}_{n=0} {\bf X}(t) \right] \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6) \end{eqnarray} であるので、図1で示したベクトルを\( n=1,\ 2,\ 3, \cdots \)として、無限個集め、それらを足し合わせ、\( \frac{a_0}{2} \)を足したものが\( x(t) \)となるのである。 フーリエ級数の位相と振幅にはこのような関係性があるのである。

広告