複素フーリエ級数

　区間\( [-T/2,\ T/2] \)を一周期とする周期関数のフーリエ級数は、 \begin{eqnarray} x(t) &\sim& \frac{a_0}{2} + a_1 \cos \frac{2\pi t}{T} + a_2 \cos \frac{4\pi t}{T} + \cdots + a_n \cos \frac{2n\pi t}{T} + \cdots \\ & &\ \ \ \ \ \ b_1 \sin \frac{2\pi t}{T} + b_2 \sin \frac{4\pi t}{T} + \cdots + b_n \sin \frac{2n\pi t}{T} + \cdots \\ &=& \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos \frac{2n\pi t}{T} + b_n \sin \frac{2n\pi t}{T} \right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \end{eqnarray} と表される。この時、フーリエ級数\( a_n,\ b_n \)は次のように表される。 \begin{eqnarray} a_n &=& \frac{2}{T} \int^{T/2}_{-T/2} x(t) \cos \frac{2n\pi t}{T}\ dt \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \\ b_n &=& \frac{2}{T} \int^{T/2}_{-T/2} x(t) \sin \frac{2n\pi t}{T}\ dt \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \\ \end{eqnarray} この式(1), (2), (3)で表されるフーリエ級数は、オイラーの公式を使ってもう少しスマートに書くことができる。 このようにフーリエ級数を複素数を使って表現することを複素フーリエ級数と呼ぶ。
　オイラーの公式は、 \begin{eqnarray} e^{i\theta} &=& \cos \theta + i \sin \theta \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4) \\ e^{-i\theta} &=& \cos \theta - i \sin \theta \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (5) \end{eqnarray} と表されるので、これを変形して、 \begin{eqnarray} \cos \theta &=& \frac{\left( e^{i\theta} + e^{-i\theta} \right)}{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6) \\ \sin \theta &=& \frac{-i \left( e^{i\theta} - e^{-i\theta} \right)}{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (7) \end{eqnarray} を得る。ここで、\( i \)は虚数単位で\( i = \sqrt{-1} \)である。 これらをフーリエ級数に代入することで以下を得る。 \begin{eqnarray} x(t) = \frac{a_0}{2} + \sum^{\infty}_{n=1} \frac{a_n - ib_n}{2} e^{i 2n\pi t /T} + \sum^{\infty}_{n=1} \frac{a_n + ib_n}{2}e^{-i 2n\pi t /T} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (8) \end{eqnarray} 第3項の\( n \)の範囲を\( 1 \rightarrow \infty \)から\( -\infty \rightarrow -1 \)に変化させると、 \begin{eqnarray} x(t) = \frac{a_0}{2} + \sum^{\infty}_{n=1} \frac{a_n - ib_n}{2} e^{i 2n\pi t /T} + \sum^{-1}_{n=-\infty} \frac{a_{-n} + ib_{-n}}{2}e^{i 2n\pi t /T} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (9) \end{eqnarray} を得るのである。 ここで、\( C_n \)を以下のように定義する。 \begin{eqnarray} C_n = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{a_n - ib_n}{2} & \left( n>0 \right) \\ \frac{a_0}{2} & \left( n=0 \right) \\ \frac{a_{-n} + ib_{-n}}{2} & \left( n < 0 \right) \\ \end{array} \right. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (10) \end{eqnarray} これを使うことで、式(9)は以下のように表すことができる。 \begin{eqnarray} x(t) = \sum^{\infty}_{n=-\infty} C_n e^{i 2n\pi t /T} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (11) \end{eqnarray} このようにオイラーの公式を使ってフーリエ級数を書き直すとかなり綺麗な形に書き直すことができる。 このような式(10), (11)を上でも紹介したが、複素フーリエ級数（complex Fourier expansion）というのである。
　ここで、係数の\( C_n \)について考えてみる。 式(10)のように場合分けが多いと面倒なので、式(10)に、 \begin{eqnarray} a_n &=& \frac{2}{T} \int^{T/2}_{-T/2} x(t) \cos \frac{2n\pi t}{T}\ dt \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (12) \\ b_n &=& \frac{2}{T} \int^{T/2}_{-T/2} x(t) \sin \frac{2n\pi t}{T}\ dt \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (13) \\ \end{eqnarray} を代入して、3つの場合がそれぞれどのような値を持つか考えてみる。 まずは、\( n>0\)の場合は、 \begin{eqnarray} C_n &=& \frac{a_n - i b_n}{2} \\ &=& \frac{1}{2} \left\{ \frac{2}{T}\int^{T/2}_{-T/2} x(t) \cos \frac{2n \pi t}{T}\ dt - i \frac{2}{T}\int^{T/2}_{-T/2}x(t) \sin\frac{2n\pi t}{T}\ dt \right\} \\ &=& \frac{1}{T} \int^{T/2}_{-T/2} x(t) e^{-i2n\pi t/T}\ dt\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (14) \end{eqnarray} となるのである。では、次に\( n<0\)の場合を見てみる。 \begin{eqnarray} C_n &=& \frac{a_{-n} + i b_{-n}}{2} \\ &=& \frac{1}{2} \left\{ \frac{2}{T}\int^{T/2}_{-T/2} x(t) \cos \left( - \frac{2n \pi t}{T} \right)\ dt + i \frac{2}{T}\int^{T/2}_{-T/2}x(t) \sin\left( -\frac{2n\pi t}{T}\right)\ dt \right\} \\ &=& \frac{1}{T} \int^{T/2}_{-T/2} x(t) \cos \frac{2n \pi t}{T}\ dt - i \frac{2}{T}\int^{T/2}_{-T/2}x(t) \sin\frac{2n\pi t}{T}\ dt \\ &=& \frac{1}{T} \int^{T/2}_{-T/2} x(t) e^{-i2n\pi t/T}\ dt\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (15) \end{eqnarray} これは\( n>0 \)の場合の式(14)と同じになるのである。最後に、\( n=0 \)の場合を計算する。 \begin{eqnarray} C_n &=& \frac{a_0}{2} \\ &=& \frac{1}{2} \int^{T/2}_{-T/2} x(t) \cos 0\ dt \\ &=& \frac{1}{2} \int^{T/2}_{-T/2} x(t)\ dt \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (16) \end{eqnarray} これは、式(14)もしくは式(15)に\( n=0 \)を代入して得られる式と同じである。 以上のことから式(10)のように\( C_n \)は場合分けしなくても、どのような場合でも \begin{eqnarray} C_n = \frac{1}{T} \int^{T/2}_{-T/2} x(t) e^{-i2n\pi t/T}\ dt\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (17) \end{eqnarray} と表すことができるのである。