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格子並進ベクトル


 結晶を学ぶ前に数学的な表現方法について説明しておく。
 3次元空間内の任意の点を示す際には以下のようにベクトルで表すことができる。 \begin{eqnarray} {\bf R} = u_1 {\bf a_1} + u_2 {\bf a_2} + u_3 {\bf a_3}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \end{eqnarray} この時、\( u_1 = n_1 \)、\( u_2 = n_2 \)、\( u_3 = n_3 \)として、\( n_1,\ n_2,\ n_3\)が整数であるとすると\( {\bf R}\)は3次元空間の自由な場所を示すことができなくなり、ある飛び飛び(離散的な)点しか示すことができなくなる。 この時、\( {\bf R} \)で表される点を格子点と呼ぶ。 また、\( {\bf a_1},\ {\bf a_2},\ {\bf a_3}\)を並進ベクトルと呼ぶ。
 具体的に2次元空間に並進ベクトルと格子点を表すと図1のようになる。

“fig1-1-1.png”
図1. \( {\bf R} \)で表される点。バツ印は格子点である。

ではここで並進ベクトルについて考える。 \( {\bf a_1} \)と\( {\bf a_2} \)に対して、\( {\bf a_1}' \)と\( {\bf a_2}' \)は以下のような関係がある。 \begin{eqnarray} {\bf a_1}' &=& {\bf a_2} \\ {\bf a_2}' &=& {\bf a_2} - {\bf a_1} \end{eqnarray} このことから、\( {\bf R} = n_1' {\bf a_1}' + n_2' {\bf a_2}' \)とすることができる (\(n_1'\)と\(n_2'\)は整数)。 従って、\( {\bf a_1}' \)と\( {\bf a_2}' \)は\( {\bf R}\)を与える並進ベクトルである。 \( {\bf R}\)を\( {\bf a_1} \)と\( {\bf a_2} \)で表した場合と、\( {\bf a_1}' \)と\( {\bf a_2}' \)で表した場合ではベクトルによって囲われる平行四辺形の面積が等しいという共通点があり、 \begin{eqnarray} \frac{1}{2}\sqrt{|x_1|^2|x_2|^2 - (x_1 \cdot x_2)^2} = \frac{1}{2}\sqrt{|x_1'|^2|x_2'|^2 - (x_1' \cdot x_2')^2} \end{eqnarray} の関係がある。 しかし、\( {\bf b_1} \)と\( {\bf b_2} \)が作る平行四辺形はこれらの平行四辺形の面積とは異なるので、 \( {\bf b_1} \)と\( {\bf b_2} \)は\( {\bf R}\)を与える並進ベクトルではないのである。
 ちなみに同じ\( {\bf R}\)を与える並進ベクトルを得る場合には、ベクトルが作る平行四辺形の中に格子点が含まれないようにすれば良いのである。

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