トップ > 物理数学 > フーリエ級数

フーリエ級数     


 フーリエ変換とはある(周期的な)関数を三角関数の足し合わせで表すことであり、フーリエ変換を用いた解析手法をフーリエ解析と呼ぶ。 ここでは、関数をどのようにしてフーリエ変換するのかを説明する。
関数\( f(x) \)は \begin{eqnarray} f(x) &=& \frac{a_0}{2} + a_1 \cos \frac{\pi x}{L} + b_1 \sin \frac{\pi x}{L} + a_2 \cos \frac{2\pi x}{L} + b_2 \sin \frac{2\pi x}{L} + \cdots \\ &=& \frac{a_0}{2} + \sum^{\infty}_{n=1} \left( a_n \cos \frac{n\pi x}{L} + b_n \sin \frac{n\pi x}{L} \right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathrm{(1)} \end{eqnarray} と三角関数で表すことができるとする。右辺第1項を2で割っているが、これはこれから行う計算を美しくするためのものである。ここで、式(1)の右辺を\( f(x) \)のフーリエ級数と言う。 式(1)において、\( a_n, b_n \)が分かれば\( f(x) \)を三角関数で置き換えられる。 式(1)の両辺に\( \cos \frac{m\pi x}{L}\ \ \ (m=0,1,2,3,\cdots) \)をかけて区間積分することで、まず\( a_n \)に対する式を求める。
\begin{eqnarray} f(x) \cos \frac{m\pi x}{L} = \frac{a_0}{2}\cos \frac{m\pi x}{L} + \sum^{\infty}_{n=1} \left( a_n \cos \frac{n\pi x}{L} \cos \frac{m\pi x}{L} + b_n \sin \frac{n\pi x}{L} \cos \frac{m\pi x}{L} \right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathrm{(2)} \end{eqnarray} と変形された式(2)を\(-L \)から\( L\)の区間で積分すると、 \begin{eqnarray} \int^{L}_{-L} f(x) \cos \frac{m\pi x}{L} dx &=& \frac{a_0}{2} \int^{L}_{-L} \cos \frac{m\pi x}{L}dx \\ &+& \sum^{\infty}_{n=1} \left( a_n \int^{L}_{-L} \cos \frac{n\pi x}{L} \cos \frac{m\pi x}{L}dx + b_n \int^{L}_{-L}\sin \frac{n\pi x}{L} \cos \frac{m\pi x}{L}dx \right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathrm{(3)} \end{eqnarray} となる。ここで、積分公式を用いて各項の値を求める。
 右辺第1項目は \begin{eqnarray} \frac{a_0}{2} \int^{L}_{-L} \cos \frac{m\pi x}{L}dx &=& a_0 L\ \ \ \ \ (m=0) \\ &=& 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ (m\ne 0) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathrm{(4)} \end{eqnarray}  右辺第2項目は、\( m=n \)のとき、倍角の公式を用いて \begin{eqnarray} \int_{-L}^{L} \cos^2 \frac{m\pi x}{L} dx &=& \frac{1}{2} \int_{-L}^{L} \left( 1 + \cos \frac{2m\pi x}{L} \right) dx \\ &=& \frac{1}{2} \left[ x + \frac{L}{2m\pi}\sin\frac{2m\pi x}{L} \right]_{-L}^{L} = L \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathrm{(5)} \end{eqnarray}  \( m\ne n \)のとき、加法定理を用いて、 \begin{eqnarray} \int_{-L}^{L} \cos \frac{n\pi x}{L} \cos \frac{m\pi x}{L} dx &=& \frac{1}{2} \int_{-L}^{L} \left\{ \cos\frac{(m+n)\pi}{L}x + \cos\frac{(m-n)\pi}{L}x \right\} dx \\ &=& \left[ \frac{L}{(m+n)\pi}\sin \frac{(m+n)\pi}{L}x + \frac{L}{(m-n)\pi}\sin \frac{(m-n)\pi}{L}x \right]^{L}_{-L} = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathrm{(6)} \end{eqnarray}  右辺第3項は \begin{eqnarray} \int^{L}_{-L}\sin \frac{n\pi x}{L} \cos \frac{m\pi x}{L}dx &=& \int^{L}_{-L} \left\{ \sin \frac{(m+n)\pi}{L}x + \sin \frac{(m-n)\pi}{L}x \right\} dx \\ &=& \left[ - \frac{L}{(m+n)\pi}\cos \frac{(m+n)\pi}{L}x - \frac{L}{(m-n)\pi}\cos \frac{(m-n)\pi}{L}x \right]^{L}_{-L} = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathrm{(7)} \end{eqnarray} である。まとめると、式(3)で残るのは第1項と\( m=n \)のときの第2項だけであるので、 \begin{eqnarray} \int^{L}_{-L} f(x) \cos \frac{m \pi x}{L} dx = a_m L \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathrm{(8)} \end{eqnarray} となる。書き直すと \begin{eqnarray} a_n = \frac{1}{L} \int^{L}_{-L} f(x) \cos \frac{n \pi x}{L} dx \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (n = 0,1,2,3,\cdots) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathrm{(9)} \end{eqnarray} となり、\(a_n \)を求める公式を導くことができた。
 次に、式(2)の両辺に\( \sin \frac{m\pi x}{L}\ \ \ (m=0,1,2,3,\cdots) \)をかけると \begin{eqnarray} \int^{L}_{-L} f(x) \sin \frac{m\pi x}{L} dx &=& \frac{a_0}{2} \int^{L}_{-L} \sin \frac{m\pi x}{L}dx \\ &+& \sum^{\infty}_{n=1} \left( a_n \int^{L}_{-L} \cos \frac{n\pi x}{L} \sin \frac{m\pi x}{L}dx + b_n \int^{L}_{-L}\sin \frac{n\pi x}{L} \sin \frac{m\pi x}{L}dx \right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathrm{(10)} \end{eqnarray} となる、式(4),(5),(6),(7)と同様に各項の積分を計算すると、式(10)の右辺第1項は\( b_0 L \)、第2項は\(m=n\)のときのみ\(b_m L \)となる。 よって、 \begin{eqnarray} \int^{L}_{-L} f(x) \sin \frac{m \pi x}{L} dx = b_m L \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathrm{(11)} \end{eqnarray} となり、 \begin{eqnarray} b_n = \frac{1}{L} \int^{L}_{-L} f(x) \sin \frac{n \pi x}{L} dx \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (n = 0,1,2,3,\cdots) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathrm{(12)} \end{eqnarray} が導かれる。これで、\( f(x) \)を三角関数で置き換えることができた。 これまでに行った計算で得られた、\(a_n, b_n \)をフーリエ係数と呼ぶ。

広告