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 逆行列


 逆行列とは正方行列で、同じく正方行列\( A \)に対して\( A^{-1} \)と書かれる行列で、以下の性質がある。 \begin{eqnarray} A^{-1} A &=& I \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4.5.1) \\ A A^{-1} &=& I \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4.5.2) \end{eqnarray} つまり、行列\( A \)に掛けると単位行列になる行列を逆行列と呼ぶのである。
 行列\(A\)の逆行列\( A^{-1} \)の求め方を示していく。 2行2列の行列\( A \)を \[ A = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4.5.3) \] とするとき、その逆行列\( A^{-1} \)は \[ A = \frac{1}{ad-bc} \left( \begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \\ \end{array} \right) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4.5.4) \] として定義される。このとき、\( ad - bc\)を逆行列の判別式(\( det \))と呼び、判別式が0のときは逆行列は存在しないのである。
 では次に3行3列の行列\( B \)の逆行列を求める。 \[ A = \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4.5.5) \] とするとき、逆行列は \[ A = \frac{1}{det\ A} \left( \begin{array}{ccc} a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32} & a_{13}a_{32}-a_{12}a_{33} & a_{12}a_{23}-a_{13}a_{22} \\ a_{23}a_{31}-a_{21}a_{33} & a_{11}a_{33}-a_{13}a_{31} & a_{13}a_{21}-a_{11}a_{23} \\ a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31} & a_{12}a_{31}-a_{11}a_{32} & a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} \end{array} \right) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4.5.6) \] ここで、 \begin{equation} det\ A = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{21} a_{32} a_{13} + a_{31} a_{12} a_{23} - a_{11} a_{32} a_{23} - a_{31} a_{22} a_{13} - a_{21} a_{12} a_{33} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4.5.7) \end{equation} である。この場合ももちろん\( det\ A \)が0でない場合に行列\( A \)は逆行列を持つ。 3行3列の逆行列の公式を示したが、ここまで来るともはや覚えることが難しくなってくる。 3行3列以上の行列の逆行列を求める際は公式を覚えるのではなく、行列式の知識と掃き出し法によって求めることが最も簡単な方法である。

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