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 単位行列


 行列の計算でよく出てくる単位行列とはn行n列の対角成分が1でそれ以外が0の行列である。 3行3列の行列の単位行列は \[ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4.4.1) \] である。これは行と列の数が同じ正方行列である(n行n列)。 単位行列とは一体どのような性質を持つのであろうか? 単位行列は通常\( I \)で表されることが多い。 行列\( A \)に単位行列を掛けた場合、 \begin{eqnarray} AI &=& A \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4.4.2) \\ IA &=& A \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4.4.3) \end{eqnarray} となる。つまり、 \begin{eqnarray} AI &=& IA \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4.4.4) \end{eqnarray} を導ける。単位行列はそれ自身ではあまり意味を持たないが行列を使った計算では大きな意味を成す。 例えば、行列\(A\)と行列\(B\)が \begin{equation} AB = I\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4.4.5) \end{equation} かつ、 \begin{equation} BA = I\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4.4.6) \end{equation} として表されるとき、\( A \)を\( B \)の逆行列と呼ぶ。 (または、\( B \)を\( A \)の逆行列と呼ぶ) 行列を用いた計算では逆行列の計算は非常に重要であるので、逆行列のページで詳しく説明する。

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