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 直交座標・円柱座標・極座標におけるベクトル演算子


 色々な座標系でベクトル演算子を計算する場合は、直交座標のベクトル演算子から変換する必要がある。 変換の方法は各項目で示すが、これらをいちいち計算していたら時間がなくなるので、このまま覚えていてもいい。 この計算は、難しいというより、計算量が多く複座なだけなので、計算に取り掛かってしまうと後悔するかもしれない。 テストなどではあらかじめ与えられている場合が多い。

直交座標

\begin{align} \nabla f &= \left( {\bf e}_x\frac{\partial}{\partial x} + {\bf e}_y\frac{\partial}{\partial y} + {\bf e}_z\frac{\partial}{\partial z} \right)f \\ &= \frac{\partial f}{\partial x}{\bf e}_x + \frac{\partial f}{\partial y}{\bf e}_y + \frac{\partial f}{\partial z}{\bf e}_z  \\ \nabla \cdot {\bf A} &= \left( {\bf e}_x\frac{\partial}{\partial x} + {\bf e}_y\frac{\partial}{\partial y} + {\bf e}_z\frac{\partial}{\partial z} \right)\cdot \left( A_x{\bf e}_x + A_y{\bf e}_y + A_z{\bf e}_z \right) \\ &= \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z} \\ \nabla \times {\bf A} &= \left( {\bf e}_x\frac{\partial}{\partial x} + {\bf e}_y\frac{\partial}{\partial y} + {\bf e}_z\frac{\partial}{\partial z} \right) \times \left( A_x{\bf e}_x + A_y{\bf e}_y + A_z{\bf e}_z \right) \\ &= \left( \frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z} \right) {\bf e}_x + \left( \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x} \right) {\bf e}_y + \left( \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y} \right) {\bf e}_z \end{align}

2次元極座標

\begin{eqnarray} \nabla f &=& \frac{\partial f}{\partial r} {\bf e}_r + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}{\bf e}_{\theta}\\ \nabla \cdot {\bf A} &=& \frac{1}{r}\left[ \frac{\partial}{\partial r}\left( r A_r \right) + \frac{\partial A_{\theta}}{\partial \theta} \right] \end{eqnarray}

円柱座標(円筒座標)

\begin{align} \nabla f &= \frac{\partial f}{\partial r} {\bf e}_r + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}{\bf e}_{\theta} + \frac{\partial f}{\partial z}{\bf e}_{z} \\ \nabla \cdot {\bf A} &= \frac{1}{r}\left[ \frac{\partial}{\partial r}\left( r A_r \right) + \frac{\partial A_{\theta}}{\partial \theta} + r \frac{\partial A_z}{\partial z}\right] \\ \nabla \times {\bf A} &= \left[ \frac{1}{r}\frac{\partial A_z}{\partial \theta} - \frac{\partial A_{\theta}}{\partial z} \right] {\bf e}_r + \left[ \frac{\partial A_r}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial r} \right]{\bf e}_{\theta} + \frac{1}{r} \left[ \frac{\partial}{\partial r}\left( rA_{\theta} \right) - \frac{\partial A_r}{\partial \theta} \right] {\bf e}_z \end{align}

3次元極座標(球座標)

\begin{align} \nabla f &= \frac{\partial f}{\partial r}{\bf e}_r +\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta} {\bf e}_{\theta} +\frac{1}{r\sin \theta} \frac{\partial f}{\partial \phi}{\bf e}_{\phi} \\ \nabla \cdot {\bf A} &= \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 A_r \right) +\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left( \sin\theta A_{\theta} \right) + \frac{1}{r\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \phi} A_{\phi} \\ \nabla \times {\bf A} &= \frac{1}{r^2 \sin \theta} \left[ \frac{\partial}{\partial \theta}\left( r \sin \theta A_{\phi} \right) - \frac{\partial}{\partial \phi} \left( r A_{\theta} \right) \right] {\bf e}_r \\ &\ \ \ \ \ \ \ + \frac{1}{r\sin\theta} \left[ \frac{\partial}{\partial \phi}A_r - \frac{\partial}{\partial r}\left( r\sin\theta A_{\phi} \right) \right] {\bf e}_{\theta}\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + \frac{1}{r} \left[ \frac{\partial}{\partial}\left( r A_{\theta} \right) - \frac{\partial}{\partial \theta} A_r \right] {\bf e}_{\phi} \end{align}

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