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 2次元極座標におけるベクトル演算子


 ベクトル演算子の勾配(grad)発散(div)を2次元極座標で実行する際には、直交座標の場合から変換を行う必要がある。 まずは、結論から示してみる。2次元極座標系における、勾配、発散は以下のように表すことができる。 \begin{eqnarray} \nabla f &=& \frac{\partial f}{\partial r} {\bf e}_r + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}{\bf e}_{\theta} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)\\ \nabla \cdot {\bf A} &=& \frac{1}{r}\left[ \frac{\partial}{\partial r}\left( r A_r \right) + \frac{\partial A_{\theta}}{\partial \theta} \right]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \end{eqnarray}  通常は、円柱座標3次元極座標でのベクトル演算子を用いることが多いのだが、計算の練習として式(1)と式(2)の導出方法を以下に示してみる。
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 直交座標系の勾配と発散は \begin{eqnarray} \nabla \phi &=& \left( \frac{\partial}{\partial x}{\bf e}_x + \frac{\partial}{\partial y}{\bf e}_y \right)f = \frac{\partial f}{\partial x}{\bf e}_x + \frac{\partial f}{\partial y}{\bf e}_y\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \\ \nabla \cdot {\bf A} &=& \left( \frac{\partial}{\partial x}{\bf e}_x + \frac{\partial}{\partial y}{\bf e}_y \right)\cdot \left( A_x{\bf e}_x + A_y{\bf e}_y \right) = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4) \end{eqnarray} と表される。これを、\( \frac{\partial}{\partial r},\ \frac{\partial}{\partial \theta},\ {\bf e}_r,\ {\bf e}_{\theta} \)で表される系に変換する必要がある。 ではまず始めに、偏微分を変換する。\(x,\ y\)の偏微分は以下のような関係式がある。 \begin{eqnarray} \frac{\partial }{\partial x} &=& \frac{\partial }{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x} + \frac{\partial }{\partial \theta}\frac{\partial \theta}{\partial x}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (5) \\ \\ \frac{\partial }{\partial y} &=& \frac{\partial }{\partial r}\frac{\partial r}{\partial y} + \frac{\partial }{\partial \theta}\frac{\partial \theta}{\partial y}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6) \end{eqnarray} また、\( x,\ y \)と\( r,\ \theta\)は\( x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta \)の関係があるので、以下の関係が導くことができる。 \begin{eqnarray} r = \sqrt{x^2 + y^2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ (7) \\ \theta = \tan^{-1} \frac{y}{x}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (8) \end{eqnarray} このことから、\(x,\ y\)の偏微分は以下のように表すことができる。 \begin{eqnarray} \frac{\partial r}{\partial x} &=& \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{x}{r} = \cos \theta \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (9) \\ \frac{\partial r}{\partial y} &=& \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{y}{r} = \sin \theta \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (10)\\ \frac{\partial \theta}{\partial x} &=& - \frac{y}{x^2} \frac{1}{1+\left( \frac{y}{x} \right)^2} = - \frac{y}{r^2} = - \frac{\sin \theta}{r} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (11)\\ \frac{\partial \theta}{\partial y} &=& - \frac{1}{x} \frac{1}{1+\left( \frac{y}{x} \right)^2} = \frac{x}{r^2} = \frac{\cos \theta}{r}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (12) \end{eqnarray} この時、\( \tan^{-1} \frac{y}{x} \)の微分に関しては、ニュートンの運動方程式の座標変換を参照にして欲しい。 これらの式(9)から式(12)を使って、式(5)、(6)を書き換えると以下のようになる。 \begin{eqnarray} \frac{\partial }{\partial x} &=& \frac{\partial}{\partial r} \cos \theta - \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \frac{\sin \theta}{r} \right) \ \ \ \ \ \ \ (13) \\ \frac{\partial }{\partial y} &=& \frac{\partial}{\partial r} \sin \theta + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \frac{\cos \theta}{r} \right) \ \ \ \ \ \ \ (14) \end{eqnarray} これで、\(\frac{\partial}{\partial x},\ \frac{\partial}{\partial y} \)を\( \frac{\partial}{\partial r},\ \frac{\partial}{\partial \theta} \)に変換する式を得ることができた。次に、単位ベクトルの変換を行なっていく。 まず、極座標系における位置ベクトル\( {\bf r} \)は \begin{eqnarray} {\bf r} = r \cos \theta {\bf e}_x + r \sin \theta {\bf e}_y \ \ \ \ \ \ \ \ (15) \end{eqnarray} で表される。この関係式から\( r \)方向と\( \theta \)方向の単位ベクトル\( {\bf e}_r,\ {\bf e}_{\theta} \)を求める。 単位ベクトル\( {\bf e}_r,\ {\bf e}_{\theta} \)は、以下のように求めることができる。 \begin{eqnarray} {\bf e}_r = \frac{\frac{\partial {\bf r}}{\partial r}}{\left| \frac{\partial {\bf r}}{\partial r} \right|}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (16) \\ \\ {\bf e}_{\theta} = \frac{\frac{\partial {\bf r}}{\partial \theta}}{\left| \frac{\partial {\bf r}}{\partial \theta} \right|}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (17) \end{eqnarray} ここで、\( \left|\frac{\partial {\bf r}}{\partial r} \right|\)と\( \left|\frac{\partial {\bf r}}{\partial \theta} \right|\)はベクトルの大きさである。各方向の微小変化を導き、その大きさで割ることで、ベクトルの大きさを1にしたのである。 では実際に計算してみると、 \begin{eqnarray} {\bf e}_r &=& \cos \theta {\bf e}_x + \sin \theta {\bf e}_y \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (18)\\ {\bf e}_{\theta} &=& - \sin \theta {\bf e}_x + \cos \theta {\bf e}_y\ \ \ \ \ \ \ \ \ (19) \end{eqnarray} となる。この式(18), (19)を連立方程式として、\( {\bf e}_x,\ {\bf e}_y \)について解くことで以下の関係式を導くことができる。 \begin{eqnarray} {\bf e}_x &=& \cos \theta {\bf e}_r - \sin \theta {\bf e}_\theta \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (20) \\ {\bf e}_y &=& \sin \theta {\bf e}_r + \cos \theta {\bf e}_\theta \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (21) \end{eqnarray} この関係式から極座標でのベクトル演算子の関係式を得るために、まずは式(3), (4)の\( \nabla \)の部分に式(13), (14)と式(20), (21)を代入すると、 \begin{eqnarray} \nabla &=& \frac{\partial}{\partial x}{\bf e}_x + \frac{\partial}{\partial y}{\bf e}_y \\ &=& \left\{ \frac{\partial}{\partial r} \cos \theta - \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \frac{\sin \theta}{r} \right)\right\} \left( \cos \theta {\bf e}_r - \sin \theta {\bf e}_\theta \right) + \left\{ \frac{\partial}{\partial r} \sin \theta + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \frac{\cos \theta}{r} \right) \right\} \left( \sin \theta {\bf e}_r + \cos \theta {\bf e}_\theta \right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (22) \end{eqnarray} を得る。これらをまとめると、 \begin{eqnarray} \nabla = {\bf e}_r \frac{\partial}{\partial r} + {\bf e}_{\theta} \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (23) \end{eqnarray} となる。(ここで、単位ベクトルはナブラに方向を与えるだけで微分しないので、偏微分の前に出した)では、まず勾配を求めてみる。勾配は式(23)を使って、 \begin{eqnarray} \nabla f &=& \frac{\partial f}{\partial r} {\bf e}_r + \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial \theta} {\bf e}_{\theta} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (24) \end{eqnarray} とすることができるのである。
 発散を求める場合はもう少し工夫が必要である。式(23)を使って、2次元極座標での発散は \begin{eqnarray} \nabla \cdot {\bf A} = \left( {\bf e}_r \frac{\partial}{\partial r} + {\bf e}_{\theta} \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} \right) \cdot \left( A_r {\bf e}_r + A_{\theta} {\bf e}_{\theta} \right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (25) \end{eqnarray} と表される。この時、注意しなければならないことがある。 右辺1つ目の括弧内の単位ベクトルに偏微分を実行する必要はない。これはナブラに方向を与える役目のみであるからである。 しかし、右辺2つ目の括弧内の単位ベクトルに偏微分は実行される。これは、ベクトル\( {\bf A} \)の成分であるからである。 よって、単位ベクトルの微分が、 \begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial r} {\bf e}_r &=& 0 \\ \frac{\partial}{\partial \theta} {\bf e}_r &=& {\bf e}_{\theta} \\ \frac{\partial}{\partial r} {\bf e}_{\theta} &=& 0 \\ \frac{\partial}{\partial \theta} {\bf e}_{\theta} &=& - {\bf e}_r \end{eqnarray} と表されることに注意して、式(25)を展開する。 \begin{eqnarray} \left( {\bf e}_r \frac{\partial}{\partial r} + {\bf e}_{\theta} \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} \right) \cdot \left( A_r {\bf e}_r + A_{\theta} {\bf e}_{\theta} \right) = \frac{\partial}{\partial r} A_r + \frac{1}{r} \frac{\partial }{\partial\theta} A_{\theta} + \frac{1}{r}A_r \ \ \ \ \ \ (26) \end{eqnarray} (単位ベクトルの2乗は1になる)式(26)を整理すると、 \begin{eqnarray} \nabla \cdot {\bf A} = \frac{1}{r} \left[ \frac{\partial}{\partial r} \left( r A_r \right) + \frac{\partial }{\partial \theta} A_{\theta} \right]\ \ \ \ \ \ \ \ (27) \end{eqnarray} を得ることができるのである。

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