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ベクトル演算子の公式


 ベクトル演算子(\( \nabla \))の公式を以下にまとめておく。 特に証明はしないが、勾配発散回転スカラー三重積、ベクトル三重積を参考にし、成分ごとに計算すれば割と簡単に証明できる。 \begin{align} \nabla (\phi \varphi) &= \varphi \nabla \phi + \phi \nabla \varphi \\[5pt] \nabla \cdot (\phi {\bf A}) &= (\nabla \phi) \cdot {\bf A} + \phi (\nabla \cdot {\bf A}) \\[5pt] \nabla \times (\phi {\bf A}) &= (\nabla \phi) \times {\bf A} + \phi (\nabla \times {\bf A}) \\[5pt] \nabla \cdot ({\bf A} \times {\bf B}) &= {\bf B} \cdot (\nabla \times {\bf A}) - {\bf A} \cdot (\nabla \times {\bf B}) \\[5pt] \nabla \times ({\bf A} \times {\bf B}) &= ({\bf B} \cdot \nabla){\bf A} - {\bf B}(\nabla \cdot {\bf A}) - ({\bf A}\cdot \nabla) {\bf B} + {\bf A}(\nabla \cdot {\bf B})\\[5pt] \nabla ({\bf A} \cdot {\bf B}) &= ({\bf B} \cdot \nabla){\bf A} + ({\bf A} \cdot \nabla){\bf B} + {\bf B} \times (\nabla \times {\bf A}) + {\bf A} \times (\nabla \times {\bf B}) \\[5pt] \nabla \times (\nabla \phi) &= \mathrm{rot}\ \mathrm{grad} \phi = 0 \\[5pt] \nabla \times (\nabla \times {\bf A}) &= \mathrm{div}\ \mathrm{rot} {\bf A} = 0 \\[5pt] \nabla\times (\nabla \times {\bf A}) &= \nabla (\nabla \cdot {\bf A}) - \nabla^2 {\bf A} \end{align}

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