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ラプラス演算子(div grad)    


 ナブラ演算子を2回繰り返して、表される演算子をラプラス演算子と呼ぶ。 ナブラ演算子は以下のように得られる。 \begin{eqnarray} \nabla^2 &=& \mathrm{div}\ \mathrm{grad} = \nabla \cdot \nabla &=& \left( {\bf i}\frac{\partial}{\partial x} + {\bf j}\frac{\partial}{\partial y} + {\bf k}\frac{\partial}{\partial z} \right) &=& \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \end{eqnarray} ラプラス演算子は量子力学のポテンシャル問題や波動方程式によく用いられる。 ここでは簡単な例題として、\( \nabla^2 1/r \)の計算を示しておく。ちなみに\( r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \)である。 \begin{eqnarray} \nabla^2 \left( \frac{1}{r} \right) &=& \frac{\partial^2}{\partial x^2} \left( \frac{1}{r} \right) + \frac{\partial^2}{\partial y^2} \left( \frac{1}{r} \right) + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \left( \frac{1}{r} \right) \\ &=& \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial r}{\partial x} \frac{\partial}{\partial r} \left( \frac{1}{r} \right) + \frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial r}{\partial y} \frac{\partial}{\partial r} \left( \frac{1}{r} \right) + \frac{\partial}{\partial z} \frac{\partial r}{\partial z} \frac{\partial}{\partial r} \left( \frac{1}{r} \right) \\ &=& \frac{\partial}{\partial x} \left( -\frac{x}{r^3} \right) + \frac{\partial}{\partial y} \left( -\frac{y}{r^3} \right) + \frac{\partial}{\partial z} \left( -\frac{z}{r^3} \right) \\ &=& -\frac{1}{r^3} + \frac{3x^2}{r^5} -\frac{1}{r^3} + \frac{3y^2}{r^5} -\frac{1}{r^3} + \frac{3z^2}{r^5} \\ &=& -\frac{3}{r^3} + \frac{3(x^2+y^2+z^2)}{r^5} \\ &=& -\frac{3}{r^3} + \frac{3r^2}{r^5} = 0 \end{eqnarray}

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