微分方程式を用いた解法（連成振動）

図1 ３つのばねにつながれた２つの質点

図1のようにそれぞれの両端をばねでつながれた２つの質点を考える。 ２つの質点の質量は同じ\( m \)で、３つのばねのばね定数はすべて同じ\( k \)である。 左の質点の釣り合いからのずれを\( x_1 \)、右の質点の釣り合いからのずれを\( x_2 \)として、右を正とする。

それぞれの質点における運動方程式を立てると、 \begin{eqnarray} m \frac{d^2}{dt^2} x_1 &=& -k x_1 + k(x_2 - x_1) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \\ m \frac{d^2}{dt^2} x_2 &=& -k x_2 - k(x_2 - x_1) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \end{eqnarray} となる。この場合、すべて展開してから微分方程式を解くのもいいが、ここでは式(1)と式(2)を足し引きすることで、 これらの微分方程式を簡単な形に持って行く。

つまり、 \begin{eqnarray} m \frac{d^2}{dt^2} (x_2 - x_1) &=& - 3k (x_2 - x_1) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \\ m \frac{d^2}{dt^2} (x_2 + x_1) &=& - k (x_2 + x_1) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4) \end{eqnarray} となる。ここで、\( \omega_1 = \sqrt{3k/m} \)、\( \omega_2 = \sqrt{k/m} \)とすると、式(3)、式(4)は２階の同時微分方程式として、解くことができて \begin{eqnarray} (x_2 - x_1) = e^{3i\omega t} &=& C_1 \cos ( \omega_1 t + \alpha) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (5) \\ (x_2 + x_1) = e^{i \omega t} &=& C_2 \cos ( \omega_2 t + \beta) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6) \end{eqnarray} となる。ここで、\( C_1 \)、\( C_2 \)は定数である。\( \alpha \)、\( \beta \)は \begin{equation} e^{i\theta} = A\cos \theta + i \sin \theta = \sqrt{A^2 + B^2} \cos (\theta + \alpha) \end{equation} で表されるような、三角関数の合成を行った際に出てくる位相成分である。

式(5)と式(6)の連立方程式を解くことで連成振動の解を得ることができる。 \begin{eqnarray} x_1 &=& - \frac{1}{2} C_1\cos(\omega_1 t + \alpha) + \frac{1}{2} C_2 \cos ( \omega_2 t + \beta) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (7) \\ x_2 &=& \frac{1}{2} C_1\cos(\omega_1 t + \alpha) + \frac{1}{2} C_2 \cos ( \omega_2 t + \beta) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (8) \end{eqnarray} である。このように座標系の選び方を工夫することで、微分方程式をより簡単に解くことができるのである。