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 微分方程式を用いた解法(強制振動:摩擦がある場合)


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図1. ばねにつながれた質点

図1のようなバネにつながれた質点を考える。 この質点に対して、\( F = \cos \omega t \)の角振動数\( \omega \)で時間変動する力を加えて振動させる。 このような振動のことを強制振動と呼ぶ。 通常は質点と床の摩擦がない場合を考えるがこのページでは摩擦がある場合を考える。 ではまず、この質点の運動方程式を立てる。 \begin{eqnarray} m \frac{d^2 x}{dt^2} + \alpha \frac{dx}{dt} + k x = f \cos \omega t \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \end{eqnarray} ここで、\(m\)は質点の質量、\( k\)はばね定数である。 そして、\( \alpha \frac{dx}{dt} \)は摩擦力で、速度に係数\( \alpha \)で比例するとする。 ここでまず式を簡単にするために両辺を\( m \)で割る。 \begin{eqnarray} \frac{d^2 x}{dt^2} + \frac{\alpha}{m} \frac{dx}{dt} + k x = \frac{f}{m} \cos \omega t \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \end{eqnarray} 次に、以下のように定数を置き換える。 \begin{eqnarray} \frac{\alpha}{m} &=& 2 \gamma \\ \frac{k}{m} &=& \omega_0^2 \\ \frac{f}{m} &=& = F \end{eqnarray} すると式(2)はさらに綺麗にすることができて、 \begin{eqnarray} \frac{d^2 x}{dt^2} + 2\gamma \frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x = F \cos \omega t \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \end{eqnarray} となる。この形にできたら2階非同次微分方程式として解くことができる。 詳しく解き方を紹介すると複雑になるのでここでは示すことがしないが、 まず、式(3)の右辺を0として微分方程式を解くと一般解が得られて、 \begin{eqnarray} x = A_0 e^{\gamma t} \cos \left( \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2} t - \phi_0 \right) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4) \end{eqnarray} と得ることができる。ここで、\( A_0 \)は定数、\( \phi_0 \)は位相である。 次に特解を求める必要があるがこれは少し複雑である。 通常は一般解から特解を想像するのだが、この場合はもう少し物理的に考えてみようと思う。 摩擦がある強制振動の場合は減衰振動とも呼ばれる。 つまり、初期に与えられた変異による単振動の成分は摩擦によって時間とともにどんどん減衰してしまい、十分時間があった後には強制振動の\( \cos \omega t\)の振動数で振動することになる。 これは式(4)が減衰解であることからもわかる。 従って、特殊解は\( x = A \cos (\omega t + \phi) \)となることが予想できる。 これを加法定理を使って\( x = A( \cos\omega t \cos \phi - \sin \omega t \sin \phi) \)と変形させて、式(3)に代入して未知数\( A \)と\( \phi \)を求める。 まず、代入前に\(x\)の1階微分と2階微分は \begin{eqnarray} \frac{dx}{dt} &=& - A \omega ( \sin \omega t \cos\phi + \cos \omega t \sin \phi ) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (5) \\ \frac{d^2 x}{dt^2} &=& - A \omega^2 (\cos \omega t \cos \phi - \sin \omega t \sin \phi) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6) \end{eqnarray} と表されることを示しておく。 これを式(3)に代入すると以下の関係式を得ることができる。 \begin{eqnarray} - A \omega^2 (\cos \omega t \cos \phi - \sin \omega t \sin \phi) - 2 A \omega \gamma ( \sin \omega t \cos\phi + \cos \omega t \sin \phi ) + A \omega^2_0( \cos\omega t \cos \phi - \sin \omega t \sin \phi) = F \cos \omega t \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (7) \end{eqnarray} これを\( \cos \omega t\)と\( \sin \omega t\)に対して整理する。 すると、 \begin{eqnarray} \left\{ A (\omega_0^2 - \omega^2) \cos\phi - 2A \omega \gamma \sin \phi -F \right\} \cos \omega t + \left\{ A(\omega_0^2 + \omega^2)\sin \phi - 2A \omega \gamma \cos \phi \right\} \sin \omega t = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (8) \end{eqnarray} を得る。式(8)が常に成り立つためには中括弧\(\{\}\)の内部が0にならなければならない。 よって、 \begin{eqnarray} (\omega_0^2 - \omega^2) \cos\phi - 2 \omega \gamma \sin \phi - \frac{F}{A} &=& 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ (9) \\ (\omega_0^2 + \omega^2)\sin \phi - 2 \omega \gamma \cos \phi &=& 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ (10) \end{eqnarray} の方程式を得る。 この手の連立方程式は解き方があり、まず2つの方程式を2乗することから始める。 \begin{eqnarray} (\omega_0^2 - \omega^2)^2 \cos^2\phi - 2 \omega \gamma (\omega_0^2 - \omega^2) \sin \phi \cos \phi + 4 \omega^2 \gamma^2 \sin^2 \phi &=& \left( \frac{F}{A} \right)^2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ (11) \\ (\omega_0^2 + \omega^2)^2\sin^2 \phi - 2 \omega \gamma (\omega_0^2 + \omega^2) \sin \phi \cos \phi + 4 \omega^2 \gamma^2 \cos^2 \phi&=& 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (12) \end{eqnarray} そして、式(11) + (12)をすることで、 \begin{eqnarray} (\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4 \omega^2 \gamma^2 = \left( \frac{F}{A} \right)^2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (13) \end{eqnarray} を得る。 従って、 \begin{eqnarray} A = \frac{F}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4 \omega^2 \gamma^2}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (14) \end{eqnarray} を得る。 また、式(10)から\( \phi \)に関して \begin{eqnarray} \tan \phi = - \frac{2 \omega \gamma}{\omega_0^2 + \omega^2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (15) \end{eqnarray} を得るのである。 よって、式(2)の特解は \begin{eqnarray} x &=& \frac{F}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4 \omega^2 \gamma^2}} \cos (\omega t + \phi) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (16) \\ \phi &=& \tan^{-1} \left( - \frac{2 \omega \gamma}{\omega_0^2 + \omega^2} \right) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (17) \end{eqnarray} となる。式(2)の解は一般解である式(4)と特解である式(17)の足し合わせで表されるので、 \begin{eqnarray} x = A_0 e^{\gamma t} \cos \left( \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2} t - \phi_0 \right) + \frac{F}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4 \omega^2 \gamma^2}} \cos (\omega t + \phi) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (18) \end{eqnarray} となるのである。これが強制振動の解である。 上で予想したように第1項は\( e^{-\gamma t} \)によって減衰していき\( t \rightarrow \infty \)で消える。 従って、十分な時間が経った後には式(18)の右辺第二項で表される振動に落ち着くのである。 \( \omega \ne \omega_0 \)の時に生じるうなりは第1項で表されるので、これによって摩擦のある強制振動の場合、うなりは長くは続かず時間ととのにその振る舞いは消えて行く。

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