定数係数の2階同次微分方程式
微分方程式 \begin{equation} y’’ + 2a y’ + by = f(x)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \end{equation} を考える。この微分方程式は、定数係数の2階同次微分方程式の解法でまず解を求め、その解を式(1)に代入することで、 一般解を得る方法によって解くことができる。つまり、2階非同次線形微分方程式の解法と同じである。
具体的な解法は2階非同次線形微分方程式で示してあるので、ここで詳細は示さないが、以下のように一般解は表される。
\begin{eqnarray} y(x) = A_1 y_1 + A_2 y_2 - y_1 \int \frac{1}{\Delta} f(x) y_2 dx + y_2 \int \frac{1}{\Delta} f(x) y_1 dx\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \end{eqnarray} ここで、\( A_1 \)、\( A_2 \)は定数、\( y_1 \)、\( y_2 \)は１次独立な(1)の解\( \Delta \)は、ロンスキー行列式である。ロンスキー行列式は \begin{eqnarray} \Delta = y_1 y_2’ -y_1’ y_2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \end{eqnarray} である。