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 定数係数の2階非同次微分方程式


 微分方程式 \begin{equation} y’’ + 2a y’ + by = f(x)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.10.1) \end{equation} を考える。この微分方程式は定数係数の定数係数の2階同次微分方程式の解法でまずは解を求め、その解を敷き(2.10.1)に代入することで、 一般解を得る方法で解くことができる。つまりは、2階非同次線形微分方程式の解法と同じである。 具体的な解法は2階非同次線形微分方程式で示してあるので、ここでは詳細は示さないが、以下のように一般解は表される。 \begin{eqnarray} y(x) = A_1 y_1 + A_2 y_2 - y_1 \int \frac{1}{\Delta} f(x) y_2 dx + y_2 \int \frac{1}{\Delta} f(x) y_1 dx\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.10.2) \end{eqnarray} ここで、\( A_1 \)、\( A_2 \)は定数、\( y_1 \)、\( y_2 \)は1次独立な(2.10.1)の解\( \Delta \)はロンスキー行列式である。 ロンスキー行列式は \begin{eqnarray} \Delta = y_1 y_2’ -y_1’ y_2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.10.3) \end{eqnarray} である。

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