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常微分方程式と偏微分方程式


 関数を微分した形で表された式を元の関数に戻すことを微分方程式を解くという。 もっと正確に言えば、微分方程式は未知関数とその導関数を含んだ式である。 とりあえず簡単な微分方程式の例を以下に示してみる。 \begin{align} \frac{d f(x)}{dx} &= f(x) &(2.1.1) \\ \frac{d^2 y}{d x^2} + g(x) \frac{dy}{dx} + h(x) y &= f(x) &(2.1.2) \\ \frac{d^2 \theta}{dt^2} &= A\sin \theta &(2.1.3) \\ \frac{\partial^2 F}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 F}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 F}{\partial z^2} &= 0 &(2.1.4) \end{align} 式(2.1.1)~(2.1.2)のように、1つの独立変数で成り立つ微分方程式を偏微分方程式、式(2.1.4)のように独立変数が2つ以上ある微分方程式を偏微分方程式と呼ぶ。
 微分方程式内の導関数の最高階がn階の場合、n階の微分方程式と呼ぶ。 例えば、式(2.1.1)は1階の微分方程式、式(2.1.2)、(2.1.3)は2階の微分方程式と呼ぶ。 さらに、未知数およびその導関数について、1次の項しか含まないものを線形と呼び、それ以外を非線形と呼ぶ。 式(2.1.1)、(2.1.2)は線形で、式(2.1.3)は非線形である。
 微分方程式を解いて得られる関数をと呼ぶ。 n階の微分方程式を解くと、n回積分することになるので、n個の積分定数を含むことになる。 この積分定数を含む解を一般解と呼ぶ。 初期条件などから積分定数を、特別な値に決めたものを含む解を特解と呼ぶ。

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