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 複素数


 \(a\)、\(b\)を実数として、\( i^2=-1 \)で表される虚数を使って、 \begin{equation} z = a + ib \end{equation} と表されるとき、\(z\)を複素数という。このとき、\(a\)を実部(Real Part)、\(b\)を虚部(Imaginary Part)と呼ぶ。 物理では実部、虚部を分けて考えるために、 \begin{equation} z = \mathrm{Re}(z) + \mathrm{Im}(z) \end{equation} や、 \begin{equation} z = \mathfrak{Re}(z) + \mathfrak{Im}(z) \end{equation} として表される。 複素数を実部(横軸)と虚部(縦軸)に分けて座標系に表す。 すると、図1-8-1のようになる。

“fig01-7-1.png”
図1-8-1 自然対数と常用対数

このとき、実軸(横軸)に対して、線対称な赤の点を複素共役と呼ぶ。 \(z\)の複素共役は \begin{equation} \bar{z} = a - ib \end{equation} である。これを見てもわかるように、虚部にマイナスを掛けただけである。 複素数\( z \)とその複素共役\(\bar{z}\)は以下のような性質がある。 \begin{eqnarray} z + \bar{z} &=& 2\mathrm{Re}(z) \\ z - \bar{z} &=& 2 \mathrm{Im} (z) \\ z \bar{z} &=& |z|^2 \end{eqnarray}

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