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 三角関数(和積・積和の公式)


積和の公式 \begin{eqnarray} \sin A \sin B &=& -\frac{1}{2} \left\{ \cos(A+B) - \cos(A-B) \right\} \\ \sin A \cos B &=& \frac{1}{2} \left\{ \sin(A+B) + \sin(A-B) \right\} \\ \cos A \sin B &=& \frac{1}{2} \left\{ \sin(A+B) - \sin(A-B) \right\} \\ \cos A \cos B &=& \frac{1}{2} \left\{ \cos(A+B) + \cos(A-B) \right\} \end{eqnarray}

和積の公式 \begin{eqnarray} \sin A + \sin B &=& 2\sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} \\ \sin A - \sin B &=& 2\cos \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2} \\ \cos A + \cos B &=& 2\cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} \\ \cos A - \cos B &=& -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2} \end{eqnarray} 積和、和積の公式は三角関数の式変形において、しばしば登場する。積和、和積の公式は三角関数の加法定理を用いて証明することができる。 例えば、 \begin{eqnarray} \sin (A+B) &=& \sin A \cos B + \cos A \sin B\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1.4.1) \\ \sin (A-B) &=& \sin A \cos B - \cos A \sin B\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1.4.2) \end{eqnarray} を用いて、(1.4.1)と(1.4.2)を足し合わせると、 \begin{eqnarray} \sin (A+B) + \sin(A-B) = 2 \sin A \cos B \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1.4.3) \end{eqnarray} となり、 \begin{eqnarray} \sin A \cos B &=& \frac{1}{2} \left\{ \sin(A+B) + \sin(A-B) \right\} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1.4.4) \end{eqnarray} を導くことができる。加法定理のその他の式の組み合わせで積和の公式を簡単に導出することができる。 また、(1.4.4)における \begin{eqnarray} A &=& \frac{\alpha + \beta}{2} B &=& \frac{\alpha - \beta}{2} \end{eqnarray} と置き、式(1.4.2)に代入すると、 \begin{eqnarray} \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} = \frac{1}{2} \left( \sin \alpha + \sin \beta \right) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1.4.5) \end{eqnarray} となり、これを変形すると、 \begin{eqnarray} \sin \alpha + \sin \beta &=& 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1.4.6) \end{eqnarray} を得ることができ、和積の公式を導くことができる。

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