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 代表的な関数のテイラー展開(マクローリン展開)


 ここでは物理の問題を解く際によく出てくる代表的なテイラー展開を示す。 特に原点まわりのテイラー展開であるマクローリン展開の解法を示す。

指数関数
\begin{equation} e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \end{equation}     収束半径:\( \infty \)          解法

対数関数
\begin{equation} \log (1+x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n \end{equation}   収束半径:\( -1 < x \leq 1 \)   解法
\begin{equation} \log (1-x) = - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n} \end{equation}   収束半径:\( -1 < x \leq 1 \)   解法

三角関数
\begin{equation} \sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{(2n+1)} \end{equation}     収束半径:\( \infty \)       解法
\begin{equation} \cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} \end{equation}     収束半径:\( \infty \)       解法


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