代表的な関数のテイラー展開（マクローリン展開）：対数関数１

対数関数\( \log (x-1) \)のマクローリン展開を示す。

マクローリン展開は \begin{equation} f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)} (0)}{n!} x^n \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \end{equation} で示される。ここで、対数関数\( \log \frac{1}{x-1} \)を\( f(x) \)として、その微分は \begin{equation} f’(x) = \frac{d}{dx} \log (x-1) = \frac{1}{x-1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \end{equation} と表される。

このままだとわからないので、もう一度微分すると、 \begin{equation} f’’(x) = \frac{d^2}{dx^2} \log (x-1) = - \frac{1}{(x-1)^2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \end{equation} となる。なんとなく見えてきた気がするが、念のため３階微分まで求める。 \begin{equation} f’’’(x) = \frac{2}{(x-1)^3} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4) \end{equation} 式(2)、(3)、(4)から、n階微分\( f^{(n)}(x) \)は以下のように表すことができる。 \begin{equation} f^{(n)}(x) = (-1)^{(n-1)} \frac{(n-1)!}{(x-1)^{n}} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (5) \end{equation} よって、\( f^{(n)}(0) = (-1)^{(n-1)}(n-1)! \)これを式(1)に代入することで、\( \log(x-1) \)のマクローリン展開は \begin{equation} \log(x-1) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6) \end{equation} となる。

最後に収束半径を求める。式(6)を数列としてみると\( a_n = \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n \)、\( a_{n+1} = \frac{(-1)^{n+2}}{n+1} x^{(n+1)} \)である。 これをダランベールの判別式に代入すると、 \begin{equation} \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{n}{n+1} x \right| = |x| \end{equation} となる。ダランベールの判別式が１未満であれば収束するので、収束半径は\( -1 < x < 1 \)となる。 実はこの時、実際に代入すればわかるので詳しくは示さないが\( x=1 \)でも、マクローリン展開は収束するので、正確な収束半径は\( -1 < x \leq 1 \)である。