代表的な関数のテイラー展開（マクローリン展開）：指数関数

指数関数\( e^x \)のマクローリン展開を示す。

マクローリン展開は \begin{equation} f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)} (0)}{n!} (x)^n \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \end{equation} で示される。

指数関数の微分は \begin{equation} ( e^x )’ = e^x \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \end{equation} であるので、式(1)の\( f^{(n)} (0) \)は \begin{equation} f^{(n)} (0) = 1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \end{equation} であるので、指数関数のテイラー展開は \begin{equation} f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4) \end{equation} と表すことができる。

次に収束半径を求める。

式(4)を数列とみなすと、\( a_n = \frac{x^n}{n!} \)、\( a_{n+1} = \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} \)であるので、 ダランベールの判別式は \begin{equation} \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{x}{n} \right| = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (5) \end{equation} となる。\( n \rightarrow \infty \)の極限では、任意の\( x \)に対してダランベールの判別式は0になる。 つまり、収束半径は無限大であることを示すことができる。