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 テイラー展開


 テイラー展開とは「無限界微分可能な\( f(x) \)という関数のべき級数を得るものである」と定義されている。 そうは言っても、この定義だけだと難しいので、まず初めにもっと簡単に説明する。
 例えば、無限に微分可能な関数 \( f(x) \)が\( f(x) = 1.000003 \)だったとする。 この時、 \( f(x) \)の10乗つまり、\( f(x)^{10} \)はいくつになりますか?と聞かれた時、どのように計算するでしょうか? 電卓やエクセルなんかを使って、\( (1.000003)^{10} \)と単刀直入に計算すればいいのだけれど、これは美しくないし、もっと数学的な解法を導きたい。 だいたいの予測をつけてみると、1.000003は極めて1に近いので、\( (1.000003)^{10} \)も1に極めて近くなるのではないだろうか? 言い換えれば、 \begin{equation} (1.000003)^{10} \approx 1 \end{equation} ではないだろうか?まずこう考えることを0次の近似と呼ぶ。では、0.000003のところはどこに行ったのであろうか? もう少し、深く考えてみると、10乗って10回同じ数を掛け合わせることだから、0次近似に0.000003を10回かけたものを足し合わせた、 \begin{equation} (1.000003)^{10} \approx 1 + 10 \times 0.000003 = 1.00003 \end{equation} くらいじゃないか?と考えることができる。これを1次近似と呼ぶ。つまり、\( x=0.000003 \)として、1次近似まで行うと \begin{equation} (1 + x)^{n} \approx 1 + n x \end{equation} として展開できるという意味である。この技は\(x\)が十分小さい時に使えて、これをテイラー展開と呼ぶ。 \( f(x) \)上の点 \( f(a) \)から少し離れた点\( x \)の値、\( f(x) \)はテイラー展開によってわかるということである。

 次にもっと一般的な場合を考えていく。 無限微分可能な関数 \( f(x) \)上の点\( a \)から微小距離離れた点\( x \)における\( f(x) \)の値はテイラー展開によって以下のように表すことができる。 \begin{equation} f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)} (a)}{n!} (x - a)^n \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1.10.1) \end{equation} である。この時、\(n=0\)で \( f(x) = f(a) \)と定義する。この式を展開すると \begin{equation} f(x) = f(a) + f’(a)(x-1) + \frac{1}{2!} f’’(a)(x-1)^2 + \frac{1}{3!}f’’’(a)(x-1)^3 + \cdots \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1.10.2) \end{equation} となるのである。この式を点\(a\)まわりの\( f(x) \)のテイラー展開と呼ぶ。

マクローリン展開

 特に原点周り(\( a=0 \))を \begin{equation} f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)} (0)}{n!} (x)^n \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1.10.3) \end{equation} をマクローリン展開と呼ぶ。


微小距離ってどのくらい??
 では、点\( x \)が点\( a \)からどの程度離れてよいのであろうか? この限界まで離れられる距離を収束半径と呼ぶ。 もし、収束半径以内であれば、2次、3次、4次…となるに従って、値は小さくなっていく。 もし、収束半径以上であれな、高次になればなるほど値が大きくなってしまい発散してしまう。 テイラー展開を使う場合の多くは原点周りで展開することが多い。 この場合に収束半径を確かめることは、その関数へのテイラー展開の有効性を確かめる上で重要なことである。
ちなみに、三角関数(\(\cos,\ \sin\))、指数関数(\(e^x\))の収束半径は無限大であるので、どこでもテイラー展開(マクローリン展開)をすることができる。

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