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 二次方程式の解


二次方程式は高校生の数学で習う基礎的な方程式ではあるが、二次方程式の解の公式は微分方程式の特性方程式などに登場する。 ここでは忘れないように二次方程式の解の公式の導出方法と判別式について復習を兼ねて示す。 二次方程式、 \begin{eqnarray} a x^2 + bx + c = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1.1.1) \end{eqnarray} の解は、 \begin{eqnarray} x = \frac{-b\pm \sqrt{b^2 - 4 ac}}{2a} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1.1.2) \end{eqnarray} と表すことができる。この式(1.1.2)は二次方程式の解の公式と呼ぶ。 解の公式の分母の平方根の中の\( b^2 - 4 ac \)は判別式と呼ばれ、二次方程式の解の特性を知る上で重要な式である。 例えば、判別式を \begin{eqnarray} D = b^2 - 4 ac \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1.1.3) \end{eqnarray} として、解の特性を見ていく。

\( D>0 \)の時
 この時、二次方程式は”異なる2つの実数解を持つ”と言う。この二次方程式を因数分解すると、 \begin{eqnarray} (x - \alpha)(x - \beta) = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1.1.4) \end{eqnarray} と言う形になる。\( \alpha \)、\( \beta \)は実数であり、二次方程式の解となる。 つまり、二次方程式を\( x \)、\( y \)座標系に描くと、この二次方程式の曲線は\( x \)軸と二点で交わることを意味する。

\( D=0 \)の時
 この時、二次方程式は”重解を持つ”と言う。この二次方程式を因数分解すると \begin{eqnarray} (x - \alpha )^2 = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1.1.5) \end{eqnarray} と言う形になり、\( \alpha \)は実数で、二次方程式の解となる。 重解を持つ二次方程式を\( x \)、\( y \)座標系に描くと、この二次方程式の曲線は\( x \)軸と一点で接することを意味する。

\( D<0 \)の時
 この時、二次方程式は”異なる二つの虚数解を持つ”と言う。この二次方程式を因数分解すると、 \begin{eqnarray} (x - \alpha)(x - \beta) = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1.1.6) \end{eqnarray} となる。式(1.1.6)の\( \alpha \)、\( \beta \)は二次方程式の解ではあるが、実数ではなく虚数(複素数)である。 この二次方程式を\( x \)、\( y \)座標系に描くと、この二次方程式の曲線は\( x \)軸と接しないことを意味する。


解の公式の導出方法
 最後に解の公式の導出方法を示す。解の公式の導出方法は特に難しい方法を使わず、簡単な平方完成と因数分解で導くことができる。 式(1.1.1)の第一項と第二項を\( a \)でくくる。 \begin{eqnarray} a \left( x^2 + \frac{b}{a} x \right) + c = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1.1.7) \end{eqnarray} ここで、平方完成を行う。 \begin{eqnarray} a \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - a \left( \frac{b}{2a} \right)^2 + c =0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1.1.8) \end{eqnarray} 式(1.1.8)の第二項と第三項を右辺に以降すると。 \begin{eqnarray} a \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 = a \left( \frac{b}{2a} \right)^2 - c \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1.1.9) \end{eqnarray} となる。ここまで来ると解の形が想像できてくる。両辺を\( a \)で割って、右辺を少し整理していく。 \begin{eqnarray} \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 &=& \left( \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{c}{a} \\ &=& \frac{b^2}{4a^2} - \frac{4ac}{4a^2} \\ &=& \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1.1.10) \end{eqnarray} 式(1.1.10)の平方を取ると、 \begin{eqnarray} x + \frac{b}{2a} = \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1.1.11) \end{eqnarray} となる。あとは移項することで、解の公式 \begin{eqnarray} x = \frac{-b\pm \sqrt{b^2 - 4 ac}}{2a} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1.1.2) \end{eqnarray} を得る。

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