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単振り子     


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図2-5 単振り子

単振り子の場合は1次元ではなく2次元の運動になる。 この場合、運動エネルギー\( T \)は \begin{equation} T = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 + \frac{1}{2} m \dot{y}^2 \end{equation} と書ける。ここで極座標系に書き換えると \begin{eqnarray} \dot{x} &=& \dot{l}\cos \theta - l \dot{\theta} \sin \theta \\ \dot{y} &=& \dot{l}\sin \theta + l \dot{\theta} \cos \theta \end{eqnarray} であり、糸の長さ\( l \)は時間変化しないので、\( \dot{l}=0 \)である。 よって、運動方程式は極座標系で \begin{equation} T = \frac{1}{2} m l^2 \dot{\theta}^2 \end{equation} と書き直される。糸と天井がつながれている点を原点として、下向きを正とすると、位置エネルギーは \( l\cos\theta \)であるので、ポテンシャル・エネルギー\(U\)は \begin{equation} U = -mgl\cos\theta \end{equation} と表される。この系のラグラジアン\( {\cal L} \)は \begin{equation} {\cal L} = L - U = \frac{1}{2} m l^2 \dot{\theta}^2 + mgl\cos\theta \end{equation} と表される。ラグラジアンをラグランジュ方程式 \begin{equation} \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial {\cal L}}{\partial \dot{\theta}} \right) = \frac{\partial {\cal L}}{\partial \theta} \end{equation} に代入することで、運動方程式は \begin{equation} l\ddot{\theta} = - g \sin{\theta} \end{equation} となる。

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