連成振動
図2-4 両端をばねでつながれた２つの質点
まず、２つの質点の運動エネルギーをそれぞれ求める。質量\( m_1, m_2 \)の運動エネルギー\( T_1, T_2 \)はそれぞれの質点の変異\( x_1, x_2 \)を用いて、
\begin{eqnarray}
T_1 &=& \frac{1}{2} m_1 \dot{x}^{2}_{1} \\
T_2 &=& \frac{1}{2} m_2 \dot{x}^{2}_{2}
\end{eqnarray}
と求められる。次にポテンシャル・エネルギーを求めるのだが、ばねが３つもあり複雑なので少し丁寧に求める。
それぞれの質点に加わる力を考える、質量\( m_1 \)の質点は変異\( x_1 \)によって、左のばねから\( -k_1 x_1 \)の力、
中央のばねから\( - k_2 (x_1 - x_2) \)の力を受ける。よって、質量\( m_1 \)が受ける力\( F_1 \)は
\begin{equation}
F_1 = -k_1 x_1 - k_2 (x_1 - x_2)
\end{equation}
である。この時、変異の向きとばねから受ける力の向きの関係と、中央のばねの変異に注意する。
次に、質量\( m_2 \)のばねが受ける力\( F_2 \)は同様にして
\begin{equation}
F_2 = -k_2 (x_2 -x_1) -k_3 x_2
\end{equation}
よって、力とポテンシャルエネルギーの関係を使って、ポテンシャル・エネルギー\( U_1, U_2 \)は
\begin{eqnarray}
U_1 &=& \frac{1}{2} k_1 x_1^2 + \frac{1}{2} k_2 (x_1 - x_2)^2 \\
U_2 &=& \frac{1}{2} k_2 (x_2 -x_1)^2 + \frac{1}{2} k_3 x_2^2 \\
\end{eqnarray}
となる。質量\(m_1\)の質点と、質量\(m_2\)の質点のラグラジアンをそれぞれ、\( {\cal L_1, L_2} \)とすると、
\begin{eqnarray}
{\cal L_1} &=& T_1 - U_1 = \frac{1}{2} m_1 \dot{x}^{2}_{1} - \frac{1}{2} k_1 x_1^2 - \frac{1}{2} k_2 (x_1 - x_2)^2 \\
{\cal L_2} &=& T_2 - U_2 = \frac{1}{2} m_2 \dot{x}^{2}_{2} - \frac{1}{2} k_2 (x_2 -x_1)^2 - \frac{1}{2} k_3 x_2^2
\end{eqnarray}
と求めることができる。つぎにそれぞれのラグラジアンをラグランジュ方程式
\begin{equation}
\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial {\cal L}}{\partial \dot{x}} \right) = \frac{\partial {\cal L}}{\partial x}
\end{equation}
に代入するとそれぞれの質点の運動方程式
\begin{eqnarray}
m_1 \ddot{x_1} &=& - k_1x_1 - k_2(x_1 - x_2) = - (k_1 + k_2)x_1 + k_2x_2 \\
m_2 \ddot{x_2} &=& - k_2(x_2-x_1) - k_3 x_2 = - (k_2 + k_3)x_2 + k_2x_1
\end{eqnarray}
を求める事ができる。
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