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重力を受けたばねと質点


“fig02.png”
図2-2 ばね吊るされた質点

x軸が鉛直下向きを正、ばねの釣り合いの位置を\( x=0 \)とする。 この質点系も鉛直方向の力の釣り合いから運動方程式はすぐに \begin{equation} m \ddot{x} = -kx + mg \end{equation} と導かれるが、今後のより複雑な問題に備えてラグランジュ方程式から運動方程式を導出してみる。 質点の運動エネルギー\( T \)は \begin{equation} T = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 \end{equation} である。ポテンシャルエネルギーは質点にかかる力\( F \)から求める。 質点にはばねからの\( kx \)、重力からの\( mg \)が働く。 ばねから受ける力は変異の逆に働くことを注意すると \begin{equation} F = -kx + mg \end{equation} と導かれる。 \begin{equation} F = - \frac{dU}{dx} \end{equation} であることを使って、\(F\)を積分し-をかけることで、ポテンシャル・エネルギー\( U \)は \begin{equation} U = \frac{1}{2} kx^2 - mgx \end{equation} となる。運動方程式とポテンシャル・エネルギーを求めることができたのでラグラジアン\( {\cal L} \)は \begin{equation} {\cal L} = T- U = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 - \frac{1}{2}kx^2 + mgx \end{equation} となる。求められたラグラジアンをラグランジュ方程式 \begin{equation} \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial {\cal L}}{\partial \dot{x}} \right) = \frac{\partial {\cal L}}{\partial x} \end{equation} 代入する。すると、この系の運動方程式は \begin{equation} m \ddot{x} = -kx + mg \end{equation} と導かれ、冒頭の力の釣り合いから導かれた運動方程式と一致する。

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