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ラグランジュ方程式を用いた運動方程式の導出



2-1 ばねにつながれた質点

 図2-1に示したようなばねにつながれた質点の運動方程式を求めよ。ばねはフックの法則に従い、摩擦はないものとする。<解答>

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図2-1 ばねにつながれた質点


2-2 重力を受けたばねと質点

 図2-2に示したような天井から吊り下げられたばねにつながれた質点の運動方程式を求めよ。ばねはフックの法則に従い、下向きをx軸正、釣り合いの位置を\( x=0 \)とする。<解答>

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図2-2 天井から吊るされたばねにつながれた質点


2-3 滑車を通してばねとつながれた2つの質点

 ばね定数\( k \)のばねと質量\( m_1, m_2 \)の2つの質点が図2-3のように滑車をとおして結ばれている。 この系のラグラジアンと運動方程式を求めよ。ただし、重力加速度は鉛直下向きに\(g\)、摩擦はなく、ばねはフックの法則に従い、 自然長からの伸びを\(x\)とする。<解答>

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図2-3 滑車を通してばねとつながれた2つの質点



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2-4 連成振動

 質量\( m_1, m_2 \)の2つの質点がばね係数\( k_1, k_2, k_3 \)のばねに結ばれている。 質点の自然長からの変異をそれぞれ\( x_1, x_2 \)として、ラグラジアンと運動方程式を求めよ。<解答>

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図2-4 両端をばねでつながれた2つの質点


2-5 単振り子

 質量\( m \)の質点が長さ\( l \)のひもに取り付けられている。 この振り子のラグラジアンと運動方程式を導出せよ。 ひもの長さ\( l \)は変化しないとする。<解答>

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図2-5 振り子


2-6 ばね振り子

 \(x, y\)平面上を運動するばねに取り付けられた質点のラグラジアンと運動方程式を求めよ。<解答>

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図2-6 振り子


2-7 円錐ばね振り子

 \(x, y, z\)平面上を運動するばねに取り付けられた質点のラグラジアンと運動方程式を求めよ。 便宜上、\(z\)軸を図の様に示す。ばねの自然長を\(l_0\)とし、\(y\)軸と原点-質点のなす角を\(\phi\)、\(\theta\)は時間によらず一定であるとする。 <解答>

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図2-7 円錐ばね振り子