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 平面運動(極座標)における保存力


 ポテンシャルが原点からの距離だけの関数である時、ポテンシャルは\( U(r)\)と表される。 力との関係は \begin{eqnarray} {\bf F} = - \frac{\partial U(r)}{\partial {\bf r}}\ \ \ \ \ \ \ \ (1) \end{eqnarray} で表される。この力を中心力と呼び、このポテンシャルのことを中心力ポテンシャルと呼ぶ。 中心力が働く、平面で運動する物体に対してのラグラジアンは極座標系を用いて、 \begin{eqnarray} {\cal L} = \frac{1}{2}m\left( \dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2\right) - U(r)\ \ \ \ \ \ \ \ (2) \end{eqnarray} と表される。この時、ラグラジアンは\( \theta \)を含んでいないので、\( \theta\)は循環座標である。 よって、ラグランジュ方程式は、 \begin{eqnarray} \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial {\cal L}}{\partial \dot{\theta}} \right) = \frac{\partial {\cal L}}{\partial \theta} = 0\ \ \ \ \ \ \ (3) \end{eqnarray} となることがわかる。このことから、 \begin{eqnarray} \frac{d}{dt} \left( mr^2 \dot{\theta} \right) = 0\ \ \ \ \ \ \ (4) \end{eqnarray} を導くことができ、\( mr^2 \dot{\theta} \)は時間変化しない保存量であることがわかる。 では、\( mr^2 \dot{\theta} \)とは一体何を意味するのであろうか? 実はこれは角運動量の\( z \)成分である。 ではそれを確かめてみよう。
 角運動量\( {\bf L} \)は位置ベクトル\( {\bf r} \)と運動量ベクトル\( m \dot{{\bf r}} \)との外積で表すことができるので、 \begin{eqnarray} {\bf L} = {\bf r} \times \left(m \dot{{\bf r}} \right)\ \ \ \ \ \ \ (5) \end{eqnarray} と表される。この外積の\(z\)成分を書き下してみると、 \begin{eqnarray} L_z = m\left( x\dot{y} - \dot{x}y \right)\ \ \ \ \ \ \ (6) \end{eqnarray} である。ここで、\(x\)と\(y\)は極座標系では以下のように書き直すことができるのであった。 \begin{eqnarray} x &=& r \cos \theta \\ y &=& r \sin \theta \\ \dot{x} &=& \dot{r} \cos \theta - r\dot{\theta} \sin \theta \\ \dot{y} &=& \dot{r} \sin \theta + r\dot{\theta} \cos \theta \end{eqnarray} これらを式(6)に代入することで、 \begin{eqnarray} L_z = mr^2 \dot{\theta} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (7) \end{eqnarray} を得る。よって、やはり角運動量の\(z\)成分は保存量であったのである。 つまり、\(x,\ y\)平面で運動する物体の角運動量の\(z\)成分は、いくら時間が経っても変化しない。 3次元極座標の場合は次のページに示す。

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